Section problèmes : Vol. 3, été-automne 2008
- Considérant le rectangle dont la procédure de construction est illustrée ci-dessous, montrer que le rapport des côtés du rectangle donne le nombre d’or.
- Montrer qu’en enlevant le carré construit sur le petit côté d’un rectangle d’or, on obtient encore un rectangle d’or.
- Estimer le paramètre \(b\)de la spirale logarithmique approximative du nautile suivant :
- En exploitant l’équation caractéristique du nombre d’or \(\phi^2-\phi-1=0,\) montrer que:
\displaystyle \phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}
- En utilisant le théorème sur la bissectrice dont l’énoncé suit, montrer que, dans un triangle isocèle ayant un angle de 36° et deux angles de 72°, le rapport des côtés donne le nombre d’or.
Théorème
Dans tout triangle, la bissectrice d’un angle divise le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents.
- Utiliser le résultat précédent pour montrer que, dans un triangle isocèle ayant deux angles de 36° et un angle de 108°, le rapport du grand côté sur le petit donne le nombre d’or.
- En considérant les pentagones réguliers convexes et étoilés inscrits dans un cercle, repérer des longueurs dont le rapport donne le nombre d’or.
- Trouver la fraction continue du nombre
\sqrt{3}+1.
- Trouver le nombre réel dont la fraction continue est associée à la suite :
\[\{1,\,2,\,3,\,1,\,2,\,3,\,1,\,2,\,3,\,\dotsc\}.\]
- Expliquer pourquoi une corde que l’on agrandirait suffisamment dans toutes les directions ne serait éventuellement pas assez solide pour supporter son propre poids.
- Les battements du cÅ“ur d’un petit oiseau sont extrêmement rapides. Expliquer pourquoi en termes simples.
- Si on pose que l’aire d’un cercle de rayon \(1\) est \(\pi,\) pourquoi peut-on en déduire que l’aire d’un cercle de rayon \(r\) est \(\pi r^2\)
- Qu’advient-il de l’énigme si on modifie l’indice 8 (le diplomate habite la maison jaune) comme ceci: le sculpteur habite la maison verte?
- Existe-t-il une autre solution qui respecte, elle aussi, tous les indices du problème initial?
- Si nous éliminons complètement l’indice 8, qu’advient-il de la solution proposée dans l’article? Est-elle encore valide? Est-elle unique?
- Supposons que l’indice suivant est ajouté au problème initial: Indice 16 : Le violoniste habite la maison blanche. Dans ce cas, qu’adviendrait-il de la solution proposée dans l’article?
Solutions
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