Points, droites et plans (suite)
Déterminer quelles sont, selon la méthode finale de Cantor, les coordonnées du point associé à
a) 0,6 = 0,666…
b) 0,08 = 0,088…
c) 0,59 = 0,599…
d) 0,495 = 0,495 95…
e) 0,793 929 095 909 890 97 996 …
f) 0,194 919 599 296 995 939 6…
Dialogue géométrico-algébrique à saveur hippocratique
- a) Étant donné un triangle rectangle, montrer que le point milieu de son hypoténuse est équidistant des trois sommets du triangle.
Tuyau : Introduire le rectangle dont l’une des diagonales est l’hypoténuse du triangle donné, et tirer profit des propriétés des diagonales d’un rectangle.b) En conclure que le cercle ayant pour diamètre l’hypoténuse d’un triangle rectangle est circonscrit à ce triangle (et donc qu’il passe par le sommet de l’angle droit).
- Nous reprenons la démonstration du résultat du #1-b en utilisant maintenant la notion d’angle inscrit dans un demi-cercle (et donc sous-tendant le diamètre).
a) Montrer que tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit.
b) En prenant appui sur la partie a), montrer que tout angle sous-tendant le diamètre d’un demi-cercle et dont le sommet est à l’intérieur de celui-ci est plus grand qu’un angle droit.
c) Montrer de même que tout angle sous-tendant le diamètre d’un demi-cercle et dont le sommet est à l’extérieur de celui-ci est plus petit qu’un angle droit.
d) En conclure (comme au #1-b) que le demi-cercle construit sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle passe forcément par le sommet de l’angle droit.
Tuyau : Supposer au contraire que le sommet de l’angle droit n’est pas sur le demi-cercle.
Remarque : On pourrait aussi travailler à partir des résultats généraux sur un angle quelconque dans un cercle : angle inscrit, angle intérieur et angle extérieur.
- Du #1-b, il découle que la figure qui suit correspond bien au cas de deux lunules construites à partir des demi-cercles sur les trois côtés d’un triangle rectangle.
En prenant appui sur ce fait, et aussi sur la relation entre les aires des trois demi-cercles en jeu, démontrer le résultat d’Hippocrate affirmant que la somme des aires des deux lunules construites sur les cathètes d’un triangle rectangle est égale à l’aire du triangle lui-même. - On s’intéresse au résultat d’Hippocrate à propos d’un triangle rectangle isocèle sur lequel on considère une lunule unique, telle que décrite dans le texte.
a) La figure ci-dessous sous-entend deux cercles, chacun étant circonscrit à un certain carré. Caractériser ces cercles et ces carrés et donner une figure les illustrant.
b) En vous appuyant sur la proposition VI.31 des Éléments d’Euclide (voir l’encadré), donner la relation entre les aires des trois segments circulaires de la figure qui précède.
c) À l’aide des formules usuelles pour les aires, caractériser algébriquement la relation entre les trois aires de la partie b) — comme le souhaite Madame É.A. (p. 11) ».
- En prenant appui sur le #4, démontrer le résultat d’Hippocrate affirmant que l’aire de la lunule ainsi construite à partir d’un triangle rectangle isocèle est égale à l’aire du triangle lui-même.
Euclide VI.31
Dans les triangles rectangles, la figure sur le côté sous-tendant l’angle droit est égale aux figures sur les côtés contenant l’angle droit, semblables et semblablement décrites.1
- Bernard Vitrac, Euclide d’Alexandrie, Les Éléments, volume 2. PUF, 1994, p. 236. ↩
