Julien adore les paris et les chiffres. Durant le cours de géographie, il s’ennuie et propose à son voisin Alain de parier sur les nombres que va mentionner le professeur qui est en train d’expliquer les réseaux hydrographiques terrestres. Julien propose à Alain de miser vingt euros sur les neuf prochains nombres qui seront mentionnés (des longueurs de fleuves ou de rivières). Julien dit à Pierre : – « On ne considérera que le premier chiffre significatif des longueurs des cours d’eau mentionnés. Je prends le paquet des trois premiers chiffres A = {1, 2, 3} et je te laisse le paquet des six autres chiffres B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}. Celui qui, dans les neuf nombres qui vont venir, aura le plus souvent un premier chiffre dans son paquet gagnera et recevra donc vingt euros de l’autre. Si les longueurs mentionnées sont par exemple 243 km, 876 km, 1222 km, 92 km, 4330 km, 982 km, 3445 km, 2122 km, 832 km, dont les premiers chiffres sont 2, 8, 1, 9, 4, 9, 3, 2, 8, tu auras gagné, puisqu’il y a cinq chiffres du paquet B et quatre du paquet A ». Alain est enchanté, il va certainement gagner les vingt euros car, ayant en sa faveur le paquet B de 6 chiffres alors que Julien n’en a que 3 dans le paquet A, il a toutes les chances de gagner. C’est une illusion et Julien – qui est un rusé parieur – a, en réalité, une probabilité de gagner égale à 73,77 %. Cela semble paradoxal. Saurez-vous expliquer et justifier ce 73,77 % ?
Solution
La solution est liée à ce qu’on nomme la loi de Benford. Celle-ci indique que la probabilité qu’un nombre provenant d’une donnée comme la longueur d’un fleuve, ou la population d’une ville (et cela vaut aussi pour bien d’autres données statistiques), commence par le chiffre \(i\) est égale à \[\log_{10}(1 + 1/i).\] Concrètement, quand une longueur de cours d’eau est mentionnée, il y donc 30,1 % de chance que le premier chiffre de cette longueur soit « 1 ». Les autres probabilités sont données dans le tableau ci-dessous:
Cette loi étonnante a été vérifiée empiriquement et elle possède des explications mathématiques diverses, sujets aujourd’hui encore de travaux de recherche. Voir par exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Benford
La probabilité pour que le premier chiffre d’un nombre que va citer le professeur soit un « 1 », un « 2 » ou un « 3 » est donc :
\[\begin{array}{l r l}a &=& (\log_{10}(1 + 1)+\log_{10}(1 + 1/2) \\ && +\log_{10}(1 + 1/3)) = 0,60205. \end{array} \]
La probabilité pour que ce soit l’un des autres chiffres est obtenue est celle de l’évènement complémentaire :
\[b = 1 – a = 0,39795. \]
Si on ne prenait en compte qu’un seul nombre, Julien gagnerait avec une probabilité de 60,205 %. Cependant, le pari prend en compte neufs nombres et non pas un seul. La probabilité pour que Julien gagne est donc la probabilité pour que, parmi les 9 nombres que va citer le professeur, il y en ait 5, 6, 7, 8 ou 9 dans le paquet A = {1, 2, 3}. Les méthodes usuelles pour traiter ce type de questions (loi de Bernoulli, loi binomiale) donnent que cette probabilité est :
\[\begin{array}{l l l} a^9 &+& (9!/8!)a^8b + (9!/7!2!)a^7b^2 + (9!/6!3!) \\&& a^6b^3 + (9!/5!4!)a^5b^4 = 0,7377 \end{array} \]
(Sur la loi binomiale, voir par exemple :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale)
La loi binomiale
La loi binomiale est une loi de probabilité discrète définie par deux paramètres : \(n\) le nombre d’expériences réalisées, et \(p\) la probabilité de succès. La probabilité de l’échec est parfois notée \(q = (1 – p).\) La loi binomiale décrit une suite d’expériences appelées épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire \(X\) représente la somme \(k\) de succès pour les \(n\) répétitions de l’expérience et sa probabilité est :
\[\Pr (X=k) = \displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}. \]
Dans cette expression le coefficient est,
\[ \displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n-k)!k!}.\]
Ainsi, la probabilité d’obtenir un 6 deux fois en lançant un dé trois fois de suite est :
\[\Pr (X=2) = \displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \left ( \frac{1}{6} \right )^2 \left ( \frac{5}{6} \right )^1. \]
Lorsque \(p = 1/2,\) comme dans le lancer d’une pièce de monnaie, la loi binomiale tend vers la loi normale.
