Juliette et Roméo échangent à propos d’une méthode visant à scinder un angle donné en trois parties égales, mais avec une gamme bonifiée de manipulations géométriques permises dans une telle démarche.

Roméo
Juliette, Juliette, viens par ici ! Il faut que je te parle.

Juliette
Qu’est-ce qui se passe, Roméo ? Tu as l’air tout énervé.

Roméo
C’est ma prof de maths ! Je te l’avais dit : elle est parfois un peu bizarre. Aujourd’hui, elle en a encore remis. Elle a débuté son cours en nous disant : « Ce matin, on va faire des maths en zigonnant! »¹

Juliette
Zigonner ? Que veut-elle dire au juste, en employant ce terme à propos des mathématiques ?

Roméo
Elle ne nous l’a pas expliqué tout de suite. Elle a d’abord dit : « Prenez votre compas et votre règle — attention : règle non graduée, sans marques ! —, donnez-vous un angle quelconque, et construisez-en la bissectrice. »

Juliette
Oh ! c’est facile ! On a vu ça l’année dernière. Attends que je me rappelle… On prend un angle AOB, on trace un grand arc de cercle ayant pour centre le sommet O de l’angle, et puis… Ah oui, et puis on trace deux arcs de cercle qui se croisent à l’intérieur de l’angle et qui ont pour centres successifs les points d’intersection de l’arc précédent et des côtés de l’angle. On trace ensuite la droite passant par le sommet de l’angle donné et le point d’intersection de ces deux arcs : c’est notre bissectrice !

Roméo
Bingo ! Je savais que tu t’en souviendrais.

Juliette
Je me rappelle aussi que si on garde, dans les derniers mouvements, la même ouverture de compas qu’au départ, on se trouve à construire un losange. Et si on agrandit ou rapetisse plutôt l’ouverture du compas, cela donne une forme de cerf-volant. Et c’est de là que l’on peut prouver que la diagonale de ce quadrilatère est bel et bien la bissectrice.²

Roméo
Tout à fait ! On sait donc, règle et compas, faire la bissection de l’angle, c’est-à-dire le couper en deux parties égales. Et on pourrait facilement le couper en quatre ou en huit, en répétant la bissection.

Juliette
En effet ! Mais c’est quoi, cette histoire de zigonnage ?

Roméo
Attends, attends ! J’y arrive. La prof nous a alors dit : « Que diriez-vous de faire la trisection de l’angle? »

Juliette
Trisection ? Je suppose donc qu’elle veut dire : le diviser en trois parties égales. Est-ce bien cela ?

Roméo
En effet ! Et là, ma prof a affirmé : « Restons calmes : cela ne se peut pas, avec nos outils. »

Juliette
Quoi ? Mais qu’est-ce que ça signifie au juste ?

Roméo
Elle nous a expliqué qu’au milieu de 19^e siècle, par une démarche assez compliquée, un zigue dont je ne me rappelle plus le nom³ a démontré rigoureusement qu’on ne peut pas trisecter un angle en utilisant uniquement la règle et le compas. Elle a ajouté que c’est un beau grand résultat qui apportait la réponse à une question que des mathématiciens éminents étudiaient très sérieusement depuis des siècles. Et que si un jour on faisait des études en maths à l’université, on aurait alors tous les outils qu’il faut pour bien comprendre comment démontrer rigoureusement ce théorème.

Juliette
Ouille ! Ça n’a pas l’air du tout banal comme résultat. Mais tout ça ne me dit pas c’est quoi, cette histoire faire des maths en zigonnant.

Roméo
J’y viens, j’y viens ! Et justement, il y a un clin d’œil historique ici ! Ma prof nous a dit : « On va tricher un peu. Dans une vraie démarche à la règle et au compas, vous vous souvenez que pour construire une droite, on doit pouvoir s’appuyer sur deux points déjà construits, ou encore sur des points figurant dans les données du problème. Mais là, on va s’inspirer d’une méthode du grand Archimède lui-même (-287 – -212), où il utilise une façon plus généreuse afin de construire une droite. »

Juliette
Ah bon ! Et plus généreuse en quoi ?

Roméo
Tu vas voir. Partant de notre angle AOB, on le considère maintenant avec son sommet au centre d’un cercle, puis on prolonge le côté AO au-delà du centre O. Ça va servir tantôt. On prend ensuite une baguette — de fait, il s’agit de notre bonne vieille règle non graduée, mais j’aime mieux, comme ma prof l’a suggéré, l’appeler dorénavant baguette, car on va lui faire faire des drôles de pirouettes… presque magiques ! —, on prend donc notre baguette et on y marque deux points correspondant à un segment de même longueur que le rayon r du cercle : ce choix jouera un rôle très important, nous a dit la prof. Et voici maintenant le tour de passe-passe : on accroche (pour ainsi dire) notre baguette au point B, et on essaie de la déplacer de manière à ce que les deux marques qu’on y a inscrites deviennent placées l’une sur le cercle (disons le point C), et l’autre sur le prolongement de AO (le point D).

Juliette
Qu’est-ce que tu racontes ? Ralentis un peu, ça va trop vite… C’est un peu tordu, ton affaire ! Hum… Oh ! je pense que j’allume : je commence à voir pourquoi ta prof parle de zigonner. Quand tu manipules la baguette, c’est vraiment du zigonnage, car tu dois gérer simultanément trois points, et aussi l’angle que fait la baguette avec la droite AO. C’est comme si la baguette avait été insérée au point B dans un anneau pivotant, et on essaie de l’ajuster en tournant un peu autour du point B, puis en détournant, tout en glissant la baguette dans un sens puis dans l’autre à l’intérieur l’anneau. Avance, recule, tourne…, zigonne, zigonne ! On utilise donc la baguette comme une sorte d’outil zigonneur.

C’est beaucoup demander à cette pauvre baguette ! Et tout ça afin d’obtenir trois points B, C et D qui sont d’une part alignés, et d’autre part situés sur le cercle (pour B et C), sur le prolongement de son diamètre (quant à D), étant entendu que le segment CD est de longueur r. C’est vraiment du zigonnage à l’état pur !

Roméo
Je suis d’accord ! Je comprends bien comment exécuter la manœuvre. Mais là où ça coince pour moi, c’est que la prof nous a dit : « Voilà! Vous venez de trisecter votre angle par zigonnage. Je vous laisse comme problème à faire à la maison le soin de valider cette affirmation. »

Je suis un peu dans le champ : la figure ne m’inspire pas vraiment, et je ne vois pas par où commencer pour prouver qu’on a fait la trisection de l’angle AOB.

Juliette
Voyons voir. On est dans un cercle, donc on se retrouve en principe dans un cadre agréable. N’oublions pas que le segment CD est, par construction, de longueur égale au rayon r. Peut-être que si on introduisait un autre rayon bien choisi…

Tiens… oui, je pense que ça devrait marcher ! Regarde le rayon OC : ça permet de mettre l’accent sur un angle dont on peut soupçonner, à l’œil nu, qu’il a peut- être l’air d’être le tiers de l’angle AOB. Et il me semble que ça devrait pouvoir se démontrer assez directement en jouant avec les triangles présents.

Roméo
Quoi donc ? Quel angle ? Mais n’en dis pas plus! Je vais chercher à valider tout ça par moi-même.⁴ On s’en reparle demain ! Tourlou !

Pour en s\(\alpha\)voir plus !

• La trisection de l’angle dont il est ici question a été introduite par Archimède à la proposition 8 de son Livre des lemmes. La preuve originale d’Archimède — voir Bartel L. van der Waerden, Science Awakening, Oxford University Press, 1961, pp. 225-226 — diffère légèrement de celle présentée ici, mais les idées fondamentales sont les mêmes. La version du présent texte se retrouve dans le livre Episodes from the Early History of Mathematics d’Asger Aaboe (Mathematical Association of America, 1964, pp. 85-86).
• La méthode utilisée par Archimède est parfois appelée « construction par neusis », ce mot grec renvoyant à l’idée d’inclinaison ou de pente. Il s’agit alors de placer un segment de longueur donnée avec ses extrémités sur deux courbes, et de sorte que son prolongement passe par un point fixe.
• On doit la résolution du problème de la trisection de l’angle (ainsi que celui de la duplication du cube) au mathématicien français Pierre-Laurent Wantzel, professeur à l’École des Ponts et Chaussées. Voir son texte « Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas », paru en 1837 et disponible sur NUMDAM. https://www.numdam.org/item/JMPA_1837_1_2__366_0/
• Le québécisme zigonner est un terme polysémique renvoyant notamment à l’idée de faire quelque chose à coups répétés, souvent dans une action par tâtonnements. Dans le même registre se retrouvent les mots zigonnage et zigonneur. Voir à ce propos le Dictionnaire québécois d’aujourd’hui, Le Robert (DicoRobert, 1992, p. 1268), ou encore le Dictionnaire historique du français québécois, Trésor de la langue française au Québec (2^e éd., Université Laval, 2023). https://www.dhfq.org/article/zigonner-ou-zigoner

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