Zia et Léo concluent leurs échanges sur la démonstration de Georg Cantor à l’effet que le segment ouvert [0; 1[ contient autant de points que le carré construit sur ce segment.

Zia
Je crois qu’on a été vite en affaires pour statuer que l’application était injective, lors de notre dernière rencontre.¹

Léo
Tu parles de la démonstration où on décompose un nombre en deux parties selon la position des coupures de ce développement ? (Voir figures ci-contre).

Zia
Tout à fait.

Léo
Pourquoi dis-tu qu’on a été vite en affaires ?

Zia
Je crois qu’il faut imposer un ordre dans les modifications à apporter aux points sur le segment de droite [0; 1[.

Léo
Pourquoi imposer un ordre ?

Zia
Tu te souviens qu’on a constaté que le point 0,393 939 … du segment de droite posait un problème ?

Léo
En effet, en scindant selon les décimales impaires et paires, on obtenait le point \((0,\overline{3}; 0,\overline{9}).\) Après avoir rationalisé ces coordonnées, on obtenait le point (3/9; 1), soit (1/3; 1). Cependant, le point (1/3; 1) n’est pas un couple du carré construit sur le segment [0; 1[, puisque l’intervalle est ouvert.

Zia
Oui, et tu avais suggéré de ne pas faire de coupure après un 9, mais plutôt après le chiffre différent de 9 qui suit celui-ci.

Léo
Je me souviens. Et alors ?

Zia
J’avais considéré alterner les couleurs noir et rouge pour identifier les coupures à faire sur le nombre \(0,\overline{39} = 0,3\textcolor{red}{93}\, 93\textcolor{red}{9 \, 3} 93 \ldots\) En scindant, j’obtenais le couple \((0,3 \overline{93}; 0,\textcolor{red}{\overline{93}}).\)

Léo
Jusque là, je suis d’accord.

Zia
J’avais conclu que ce point était un élément du carré, puis je l’avais exprimé sous forme rationnelle pour obtenir (39/99; 93/99). Tu te souviens également de ça.

Léo
Oui.

Zia
Je n’avais pas déterminé son image, mais j’avais remarqué qu’en procédant ainsi on obtenait un point du carré construit sur les segment [0; 1[ et que l’application devait être injective, mais elle ne l’est pas en procédant de cette façon.

Léo
Là, je ne te suis plus ! Pourquoi dis-tu qu’elle n’est pas injective ?

Zia
En fait, ce n’est pas une fonction mais une relation, car supposons que l’on exprime 0,393 939 393 … sous forme rationnelle avant d’appliquer la procédure, on obtient \(0,\overline{39} = 39/99\) et, en appliquant d’abord la procédure on fait correspondre le couple (39/99; 0) (voir figure ci-contre) alors qu’en scindant avant d’exprimer sous forme rationnelle, on avait obtenu \((0,3\overline{93}; 0,\textcolor{red}{\overline{93}})\) qui, nous donnait (39/99; 93/99) sous forme rationnelle.

Léo
Tu veux dire qu’il faut systématiquement exprimer sous forme rationnelle tous les nombres ayant un développement illimité et périodique avant d’appliquer la procédure ?

Zia
Tout à fait.

Léo
Bon, regardons où on est rendus. Si on a un point ayant une suite décimale finie, on procède en scindant en deux selon les décimales impaires et paires. Par exemple si on part avec le nombre 0,19, en scindant et en regroupant, on a alors :

\[0,19 \to (0,1; 0,9).\]

Réciproquement, on a :

\[(0,1; 0,9) \to 0,19.\]

Zia
Si on a plutôt un nombre ayant un développement illimité et périodique, comme 0, 19 , on l’exprime d’abord sous forme rationnelle

\[\begin{array}{l l l} x &=& 0,\overline{19} = 0,191 \, 919 \ldots \\ 100x &=& 19,191 \, 919 \ldots \\ 99x &= &19 \text{ et } x = 19/99. \end{array}\]

On peut alors faire le jumelage et on obtient :

\[19/99 \to (19/99; 0)\]

et réciproquement, on a

\[(19/99; 0) \to 19/99 = 0,\overline{19}.\]

Léo
Essayons avec un nombre ayant un développement illimité et non-périodique.

Si on a \(0,1 \textcolor{red}{92}\,3 \textcolor{red}{92}\, 5 \textcolor{red}{92}\, 6\textcolor{red}{92} \ldots\) On trouve alors

\[(0,1 \, 35\, 6 \ldots ; 0,\textcolor{red}{929 \, 292\, 92} \ldots)\]

Ensuite, en rationalisant on a :

\[0,1\textcolor{red}{92}\, 3\textcolor{red}{92}\, 5\textcolor{red}{92}\, 6\textcolor{red}{92} \ldots \to (0,135\, 6\ldots; 0,\overline{92})\]

et réciproquement

\[(0,135\, 6\ldots; 0,\overline{92}) \to 0,1\textcolor{red}{92}\, 3\textcolor{red}{92}\, 5\textcolor{red}{92}\, 6\textcolor{red}{92} \ldots\]

Zia
De plus, si on obtient deux développements non-périodiques en scindant, par exemple, 0,142 356 984…, on a :
\[0,142\, 356\, 984 \ldots \to (0,12574\ldots; 0,436\, 8\ldots).\]

Réciproquement,
\[(0,12574\ldots; 0,436\,8\ldots) \to 0,142\, 356 \,784\ldots\]

Ça marche aussi.

Léo
Je pense que c’est correct.

• Si le nombre a une suite décimale illimitée, on scinde cette suite en deux parties, l’une qui regroupe les décimales impaires et l’autre les décimales paires.
• Si on a un nombre ayant un développement illimité et périodique, on rationalise le nombre avant de scinder.
• Si on a un nombre ayant un développement illimité et non-périodique, on scinde le nombre en coupures impaires et paires de telle sorte qu’une coupure ne soit jamais après un 9. Puis on rationalise s’il y a lieu avant de déterminer son image.

C’est bien cela ? Ça voudrait donc dire qu’à chaque point du segment de droite [0; 1[ on fait correspondre un et un seul point du carré [0; 1[× [0; 1[.

Zia
Ça me semble correct.

PDF