Zia et Léo échangent sur la démonstration de Georg Cantor à l’effet que le segment ouvert [0; 1[ contient autant de points que le carré construit sur ce segment.

Léo
J’ai parlé à ma prof de maths de la démonstration que tu m’as présentée lors de notre dernière discussion, à l’effet qu’il y a autant de points dans le segment [0; 1[ que dans le carré construit sur ce segment.

Zia
Tu parles de la démonstration où on décompose la partie décimale d’un nombre en deux parties selon la position des chiffres de ce développement (voir image). Qu’en pense ton enseignante ?

Léo
Elle dit que cette explication est incomplète. Selon elle, il faut préciser comment gérer les nombres selon leur développement¹ :

• Pour les nombres rationnels, dont le développement est soit fini, soit infini périodique, elle indique de regarder particulièrement les nombres ayant un développement infini périodique se terminant par 9.
• Puis de regarder plus précisément les nombres irrationnels, dont le développement est infini sans être périodique.

Développement rationnel

Zia
Voyons ceux qui ont un développement infini périodique. Prenons par exemple x = 0,333 333 … en le multipliant par 10, j’obtiens

10x = 3,333 333 …Et en soustrayant alors x = 0,333 333 … de 10x, j’ai alors

9x = 3,333 333 … – 0,333 333… = 3.J’obtiens l’expression rationnelle donnant la valeur de x, puisqu’à partir de 9x = 3, je tire x = 1/3. Je peux faire la même chose avec, par exemple, 0,077 777 … et obtenir que x = 7/90.

Léo
Dans l’énumération des éléments d’un ensemble, on n’accepte pas les répétitions. Que l’on écrive 0,333 333… ou 1/3 ou encore 0,077 777 … plutôt que 7/90, ça ne change rien.

Zia
Tu as raison, mais ça pose problème lorsque la période est composée de 9. Posons x = 0,999 999 … alors 10x = 9,999 999 …, et en lui soustrayant x = 0,999 999 …, on a 9x = 9. Donc x = 1.

Léo
Je vois ! Le point 1 n’est pas un élément du segment de droite [0; 1[. Le point 0,999 999 … ne fait donc pas partie des développements admissibles dans notre énumération.

Zia
Mais il faut aussi tenir compte qu’un développement comme 0,999 999 … peut être obtenu en scindant le nombre choisi sur le segment de droite [0; 1[.

Léo
En effet, mais prenons plutôt le point 0,39 = 0,393 939 … . En scindant la partie décimale en prenant les décimales en position impaire pour former un premier développement, j’ai 0,333…, et les décimales en position paire pour le second développement infini donnent 0,999 … Avec ces deux développements, j’obtiens donc le couple de coordonnées

(0,3; 0,9) = (3/9; 1) = (1/3; 1).Cependant, le correspondant (1/3; 1) n’est pas un couple du carré construit sur le segment [0; 1[. Là, on a un problème !

Zia
Ce qui signifie qu’il faut modifier la façon de scinder le point choisi au départ.

Léo
Oui ! Imposons une restriction sur le choix des coupures. Supposons que j’ajoute que la coupure ne peut pas être après un 9. Pour identifier les coupures à faire, j’alterne les couleurs noir et rouge, 0,39 = 0,393 939 393 … et, après avoir scindé, j’ai le couple (0,393;0,93). Ce point est bien un élément du carré. En effet, en l’exprimant sous forme rationnelle, ce point est (39/99; 93/99) (Illustration ci-contre).

Zia
Regardons ce que ça donne avec 0,2392. En alternant les couleurs de ce nombre, j’obtiens 0,2392929292…, d’où (0,292; 0,392). Ce point est bien dans le carré construit sur [0; 1[ que l’on peut exprimer sous forme rationnelle pour obtenir (290/990; 389/990).

Léo
Super ! Ça marche aussi dans l’autre sens (illustration ci-contre). Supposons que je choisis le point (290/990; 389/990). En exprimant les composantes sous forme de développements infinis, j’obtiens alors le point (0,292 92 92 … ; 0,392 92 92 …). En combinant les composantes sous la contrainte que les coupures ne sont pas après les 9, j’ai donc 0,23 92 92 92 92 …

C’est un point unique sur le segment [0;1[ que je peux exprimer sous forme rationnelle, pour obtenir 2 369/9 900. (Illustration ci-contre).

Développement irrationnel

Zia
Un nombre ayant un développement infini non périodique, peut-il poser un problème ?

Léo
Oui, en le scindant, on peut obtenir une partie ayant un développement infini non périodique et une partie périodique se terminant par des 9.

Prenons sur [0; 1[ le point associé à l’irrationnel 0,1949 2919393959692949… En écrivant en noir les décimales impaires et en rouge les décimales paires, j’aurais

0,1949 2919393959692949 …auquel je ferais correspondre

(0,142 133 562 4…; 0,999 999 999…).Ce point n’est pas dans le carré construit sur le segment [0; 1[. Mais si j’impose que les coupures ne peuvent pas être après un 9, j’obtiens alors

0,1949 2919393959692949 …auquel je fais correspondre le point

(0,192 939 592 …; 0,949 193 969 …)Zia
On fractionne de la même façon que pour les rationnels.

Il faut donc préciser que le développement décimal du nombre ne se termine pas par des 9 et que dans la scission de celui-ci, la coupure ne doit pas être après un 9.

Zia
En respectant cette contrainte, l’application est injective et bijective, c’est donc une bijection et on a autant de points dans le segment de droite [0; 1[ que dans le carré construit sur ce segment.

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