Le meilleur empilement

1. On considère l’empilement d’ellipses de demi-axes a et b. Montrer que cet empilement a la densité \(d_2 = \pi/ 2 \sqrt{3},\) indépendamment de a et b.

Fibration de Hopf

1. Convainquez-vous que le cylindre infini est aussi une surface brée avec un cercle comme base B et une droite \(\mathbb{R}\) comme fibre F.
2. Obtenir les coordonnées de la projection stéréographique du point \((x,y,z) \in S^2\) sur le plan \(z = 0.\)
3. La première figure de l’article montre une fibration du tore où la base et la fibre sont des cercles. Est-il possible d’utiliser ce choix de fibres plutôt que les cercles de Villarceau pour obtenir une autre fibration de \(S^3\)?

Le cas Archimède

1. De nombreuses preuves de l’irrationalité de \(\sqrt{2}\) procèdent par l’absurde, où l’on suppose au contraire que \(\sqrt{2} = a/b,\) avec \(a\) et \(b\) des entiers. On peut alors travailler à partir de l’égalité \(a^2 = 2b^2,\) cherchant à montrer que le carré d’un entier ne peut jamais être le double du
   carré d’un autre entier.
   a) Supposant de plus la fraction \(a/b\) irréductible, conclure en examinant la parité des deux entiers en cause. (C’est l’argument le plus connu, présenté dans Accromath, vol.2, été-automne 2007, p. 22.)
   b) Le raisonnement peut aussi se faire en considérant les factorisations premières de \(a\) et de \(b.\) (Il n’est plus nécessaire alors de supposer la fraction irréductible.)
   c) Retrouver le même résultat en regardant le chiffre des unités dans les développements décimaux de \(a\) et de \(b.\)
   d) On peut aussi raisonner en s’appuyant sur le fait que le chiffre des unités d’un carré, écrit en base trois, est 0 ou 1.
   e) Procéder par descente infinie, en supposant que \(a\) est le plus petit entier tel que \(a^2 = 2b^2.\)
   (Tuyau : On a alors \(a>b,\) et donc \(a=b+c\) avec \(a>c>0.\) En tirer l’existence d’une fraction égale à \(\sqrt{2}\) et de numérateur inférieur à a.)
   f) Revenant à l’hypothèse que \(\sqrt{2}\) est rationnel, soit k, le plus petit entier naturel tel que \(k \sqrt{2}\) est lui-même un entier naturel; considérer \(k \sqrt{2}-k.\)
2. Montrer que l’irrationalité de \(\sqrt{2}\) découle d’un théorème de base sur les polynômes : soit le polynôme \(a_nx^n+\ldots +a_1x +a_0\) dont les coefficients \(a_i\) sont des entiers; si \(p/q\) est une racine rationnelle, la fraction étant irréductible, alors \(p\) est un diviseur de \(a_0\) et \(q,\) un diviseur de \(a_n.\)
3. Une autre preuve repose sur la figure ci-contre. Étant donné un carré ABCD, à l’aide du compas, déterminons sur la diagonale AC un point D’ tel que AD’ ≅ AB et traçons A’D’ perpendiculaire à AC, avec A’ sur le côté BC.
   a) Montrer que le triangle rectangle A’CD’ est isocèle.
   b) En conclure l’existence d’un carré A’B’CD’ sur lequel la même construction peut être effectuée. Et ainsi de suite…
   c) Montrer que les segments A’B et A’D’ sont congruents.
   d) Pour fins de contradiction, on suppose que le côté AB et la diagonale AC du carré initial sont commensurables — c’est-à-dire qu’ils ont une « commune mesure ». Il existe donc, par hypothèse, un segment déterminé qui entre un nombre entier de fois dans chacun de ces deux segments. Montrer que le segment en cause « mesure » aussi A’B’ et A’C.
   e) En tirer une contradiction et faire le lien avec l’irrationalité de \(\sqrt{2}.\)

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