La professeure de mathématiques de Léo a posé un problème qu’il peine à résoudre. Il demande conseil à Zia.

Léo
J’ai un problème à résoudre et je ne vois pas comment procéder

Zia
C’est quoi ton problème ?

Léo
On inscrit des cercles de même rayon dans un triangle équilatéral. S’il y a n cercles sur un côté de longueur a du triangle, déterminer l’aire totale des cercles inscrits.

Zia
En fait, elle te pose deux problèmes : combien de cercles y-a-t-il dans le triangle, s’il y en a n sur un côté de longueur a, et quelle est l’aire de ces cercles ?

Léo
Si tu veux.

Zia
Le nombre de cercles dans le triangle est le nombre triangulaire de rang n.

Léo
C’est quoi le « nombre triangulaire de rang n » ?

Zia
L’appellation « nombre triangulaire » remonte à l’école de Pythagore, où on représentait les nombres par des points pour obtenir des formes géométriques.

Léo
Je vois. Et comment fais-tu pour trouver le nombre triangulaire de rang n ?

Zia
Pythagore avait remarqué que les points des nombres triangulaires pouvaient se disposer pour former des triangles rectangles.

Léo
Et comment procédait-il pour la somme ?

Zia
L’astuce consiste à supposer que le nombre de points sur les côtés est n, puis à dupliquer la figure en lui faisant effectuer une rotation de 180° et en la positionnant de façon à obtenir un rectangle.

Le nombre de points sur un des côtés est n et sur l’autre côté, il est maintenant de \(n +1\) points. Dans le rectangle, il y a donc au total \(n(n + 1)\) points. En divisant par 2, il obtient le nombre triangulaire de rang n, soit

\[T_n= \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}.\]

Léo
C’est un beau raisonnement.

Zia
De nos jours, le problème se pose de la façon suivante.

Calculer la somme des n premiers nombres
\[1 + 2 + 3 +4 +\ldots + (n – 2) + (n –1) +n.\]
On écrit la somme dans l’ordre inverse pour obtenir
\[n + (n – 1) + (n – 2) + \ldots + 4 + 3 + 2 + 1\]
et, on additionne en colonne ce qui donne
\[\begin{array}{c}1 + 2 + 3 +4 +\ldots + (n – 2) + (n –1) + n  \\ + n + (n – 1) + (n – 2) + \ldots + 4 + 3 + 2 + 1\end{array}\]

Dans chaque colonne, on obtient la même somme de \(n + 1\). Puisqu’il y a n termes, cela fait un total de \(n(n + 1)\) et en divisant par 2, on a le nombre triangulaire de rang n.¹

Léo
Oui, je me souviens qu’on ait vu cette démonstration en classe. Pythagore avait une démarche plus visuelle.

Zia
Ton premier problème est résolu. Il reste à calculer l’aire de ces cercles.

Léo
En fait, je savais comment trouver le nombre de cercles dans le triangle, mais je ne savais pas que c’était un « nombre triangulaire ». Mon problème est de trouver l’aire des cercles.

Zia
Je vois. Probablement qu’il faut exprimer le rayon en fonction du côté a du triangle. Essayons de décomposer la longueur a d’un côté en diverses longueurs pour essayer d’y voir un peu plus clair.

Qu’est-ce qu’on a en plus ?

Léo
En traçant les diamètres horizontaux, on obtient un segment de droite dont la longueur est n fois le diamètre.

Zia
On peut tracer le segment de droite reliant les sommets de la base du triangle au centre du cercle le plus près.

Léo
Super ! En soustrayant deux fois le rayon, et en additionnant deux fois le segment tangent aux extrémités, on obtient une égalité :
\[a = nd – 2r + 2S_{\tan}\].
Puisque \(d = 2r\), cela donne
\[a = 2nr – 2r + 2S_{\tan}\].

Zia
Oui, et en calculant la longueur des segments tangents, on obtient la relation entre a et r.

Léo
Le segment tangent est le côté adjacent à un angle de 30° et le côté opposé à cet angle est r. L’hypoténuse est donc 2r (voir encadré) et
\[(S_{\tan})^2 = (2r)^2 – r^2 = 4r^2 – r^2 = 3r^2.\]

La longueur d’un segment tangent est
\[S_{\tan} = r \sqrt{3},\]
d’où

\[\begin{array}{l c r} a &=& 2nr-2r+2r \sqrt{3} \\ &=&2r(n-1+r \sqrt{3}). \end{array}\]

On peut donc isoler r et on obtient

\[\displaystyle r = \frac{a}{2(n-1+r \sqrt{3})}.\]

La surface d’un cercle est donc

\[\displaystyle \pi r^2+ \frac{\pi a^2}{4(n-1+r \sqrt{3})^2}.\]

Zia
Voilà, il reste simplement à multiplier le nombre de cercles par la surface d’un cercle et l’aire occupée par les cercles est

\[A = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \times \frac{\pi a^2}{4(n-1+r \sqrt{3})^2}.\]

Léo
Bonne collaboration ! Merci !

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