Jeu de Hex

  1. Dans le jeu de Hex \(3\times3\), BLEU a une stratégie gagnante. Pour cela, BLEU doit bien jouer son premier coup. Déterminer quels sont les premiers coups possibles de la stratégie gagnante.

À propos de la diagonale du carré

  1. En prenant appui sur l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, montrer que le réel \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
  2. Dans le passage des Premiers analytiques (I.23), Aristote écrit que si on suppose la diagonale et le côté du carré commensurables, alors « un nombre impair se trouve égal à un nombre pair ».Donner une démonstration de cette affirmation en restant le plus près possible des mathématiques de l’époque d’Aristote.

    (En particulier, ne pas faire intervenir le réel \(\sqrt{2}\) en tant que tel.)

  3. Étant donné la figure ci-contre (voir la description dans le texte, p. 5), on veut montrer que \(A’B\cong A’D’\).a) Démontrer ce résultat en considérant le segment \(BD’\).b) Reprendre le problème en vous appuyant cette fois sur le segment \(AA’\).

    c) Reprendre à nouveau le problème par pliage : plier le coin inférieur gauche du carré de manière à superposer le côté \(AB\) sur la diagonale \(AC\).

  4. Soit \(c’\), la longueur du côté \(CD’\) du carré \(A’B’CD’\).a) Montrer que \(c'<c/2\), où \(c\) est la longueur du côté du carré initial.
    Tuyau : Considérer l’hypoténuse du triangle rectangle \(A’CD’\).b) En conclure que les carrés « à la Chrystal » deviennent arbitrairement petits.

Carré naturel et carré magique parfait

  1. Nous avons utilisé la formule
    \[
    0+1+\cdots+(n-1)=\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}.
    \]
    Démontrer ce résultat comme le jeune Gauss l’aurait fait instantanément.
    Indice : écrivez la même somme dans l’ordre inverse et additionnez les deux lignes !

Le Lotto 6/49

  1. Supposons que l’on imprime et vende \(n\) séries complètes de billets Lotto 6/49, soit \(13\,983\,816\times n\) billets au total.a) Calculer les lots pour les configurations 6/6, 5/6+, 5/6 et 4/6.b) Pour quelle valeur entière de \(n\) est-il préférable de gagner le lot 5/6+ plutôt que le 6/6 ?

La symétrie cachée des nombres naturels

  1. Les ensembles \(A=\{4,6,15,17,23\}\) et \(B=\{3,9,11,20,22\}\) forment un 5–5 soaisu♡♡♡♡ de force 4, c’est-à-dire que pour tout entier \(k\in\{1,2,3,4\}\), on a
    \[
    \sum_{i=1}^{5}a_i^k
    =
    \sum_{i=1}^{5}b_i^k.
    \]
    (L’égalité n’est pas vérifiée pour \(k=5\).)Montrer qu’en ajoutant un même entier \(n\) à chaque élément, les deux nouveaux ensembles \(A’=\{a_i+n\}\) et \(B’=\{b_i+n\}\) forment également un 5–5 soaisu♡♡♡♡ de force 4, c’est-à-dire que pour tout \(k\in\{1,2,3,4\}\),\[
    \sum_{i=1}^{5}(a_i+n)^k
    =
    \sum_{i=1}^{5}(b_i+n)^k.
    \]

    Indication : développez \((a_i+n)^k\) à l’aide du théorème du binôme, sommez sur \(i=1,\ldots,5\), et observez que chaque coefficient binomial

    \[\binom{k}{j}\]

    est le même pour \(A\) et pour \(B\).