Parabole et autres coniques
Lorsque l’on s’intéresse à la parabole, comme c’est le cas dans Les miroirs ardents, il est naturel de se demander comment en tracer une correctement. On peut avoir le même questionnement pour les autres sections coniques, hyperbole et ellipse, et s’intéresser à leurs propriétés remarquables.
Traçage de la parabole
Voici un dispositif pour tracer une parabole.
Une corde, dont la longueur L est égale à celle du côté $AB$ d’une équerre, est attachée à une de ses extrémités en un point fixe O situé à une distance h d’une droite $(D).$ L’autre extrémité de la corde est attachée au sommet $A$ de l’équerre. La pointe d’un crayon est placée le long du côté vertical de l’équerre en un point P de telle sorte que la corde soit tendue: on a donc $|OP| + |PA| = L.$ On fait glisser l’équerre le long de la droite $(D)$ de telle sorte que la corde demeure tendue (voir figure).
a) Montrer que la pointe du crayon décrit un arc de parabole (voir définition p. 2).
b) Montrer que le foyer de la parabole est en $O$ et que $(D)$ est sa directrice.
Anthemius de Thralle
Anthemius de Thralle (474-534) était un mathématicien et architecte byzantin. Comme architecte, et en collaboration avec Isidore de Milet, il a construit la cathédrale Sainte-Sophie à Constantinople. Les connaissances qu’il avait acquises par l’étude des coniques lui furent utiles dans la conception de cette cathédrale. C’est lui qui le premier a décrit la technique, appelée méthode du jardinier, utilisant une corde fixée aux deux foyers pour tracer une ellipse. Il n’utilise cependant pas le mot « foyer ». Cette appellation est due à Johannes Kepler qui, dans ses études sur les lentilles, a constaté la convergence de la lumière entre ces deux points, ce qui constitue la propriété remarquable de l’ellipse.
Traçage de l’hyperbole
L’hyperbole est l’ensemble des points $P$ du plan dont la différence des distances à deux points $F_1$ et $F_2$ (les foyers de l’hyperbole) est une constante $r:$
\[| |PF_1| – |PF_2| | = r.\: \: (^*)\]
Voici comment on peut dessiner la première branche de l’hyperbole avec une règle $AB$ et un crayon. La règle pivote autour d’un clou fixant l’extrémité B au premier foyer $F_1$ de l’hyperbole. À l’extrémité $A$ de la règle on fixe une corde dont l’autre extrémité est fixée au deuxième foyer $F_2$ de l’hyperbole. La corde est de longueur $L.$ On place le crayon le long de la règle de telle manière qu’il tende la corde (voir figure).
a) Montrer que la pointe du crayon décrit une branche d’hyperbole.
b) De quelle longueur $L_c$ doit-on prendre la corde si la longueur de la règle est L et que l’équation de l’hyperbole est donnée par (*)?
c) Que devez-vous faire pour tracer la deuxième branche de l’hyperbole?
Propriété remarquable de l’ellipse
La parabole n’est pas la seule conique à avoir une propriété optique remarquable, l’ellipse en a également une.
L’ellipse est le lieu géométrique des points du plan dont la somme des distances à deux points $F_1$ et $F_2$ est égale à une constante $C$ (où $C > | F_1F_2|).$
Démontrer la propriété remarquable de l’ellipse:
Tout rayon partant d’un des foyers et réfléchi sur l’ellipse arrive à l’autre foyer (figure ci-dessous).
Volume et aire d’une sphère
Archimède a comparé un cylindre droit à la sphère inscrite dans celui-ci et a affirmé que:
Lorsqu’un cylindre est circonscrit à une sphère, le volume et la surface du cylindre sont une fois et demie le volume et la surface de la sphère.
a) Déterminer les formules du volume et de l’aire de la surface du cylindre considéré par Archimède.
b) En utilisant la relation établie par Archimède déterminer les formules usuelles du volume et de l’aire de la surface de la sphère.
Les surprises de l’infini
Dans l’article L’infini, c’est gros comment? Annick et Yannick ont rencontré une particularité de l’infini. Il y a autant de nombres naturels que de nombres naturels pairs. L’infini réserve beaucoup d’autres surprises.
Considérons la somme infinie:
\[1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – ….\]
Quelle est la valeur de cette somme? Par exemple si on regroupe les nombres deux par deux à partir du premier, on obtient:
\[(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ….\\= 0 + 0 + 0 + 0 + … = 0\]
Cependant, en regroupant les nombres deux par deux à partir du second, on obtient:
\[1+(–1+1)+(–1+1)+(–1+1)+(–1+1)+….\\= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 1\]
Alors, la somme vaut-t-elle 0 ou 1? Dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, Émile Borel écrit: « Euler considère la somme de [cette série] comme égale à 1/2; et cette affirmation a pour lui la signification suivante: si, par un calcul quelconque, on est conduit à [cette série], le résultat de ce calcul est certainement 1/2. »
La somme d’un nombre infini de termes n’a pas toujours un comportement aussi bizarre. Ainsi, si on considère la somme suivante:
\[S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\]
On peut déterminer cette somme de la façon suivante. En multipliant la somme par 2, on obtient:
\[2S=2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots\]
En soustrayant membre à membre, on trouve:
\[2S-S=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots)-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots)\]
Ce qui donne $S = 1.$
Dans cette procédure, on exploite une caractéristique propre aux sommes infinies. En multipliant une somme infinie par un facteur judicieusement choisi, et en soustrayant de ce produit la somme initiale, les termes, sauf le premier, se soustraient deux à deux. Il reste à résoudre une équation du premier degré pour déterminer la valeur de la somme.
En exploitant cette caractéristique des sommes infinies:
a) déterminer les sommes suivantes:
\[\text{i) } \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^5}+\cdots \\ \text{ii) } \frac{2}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{21}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\frac{2}{3^5}+\cdots\]
b) montrer que 0,9999… = 1
c) exprimer 0,4444… comme quotient de deux entiers.
d) exprimer 0,424242… comme quotient de deux entiers.
e) montrer que \(1+r+r^2+r^3+ \cdots +r^n=\displaystyle \frac{1-r^{n+1}}{1-r}, \text{ si }r \neq 1.\)
f) expliquer pourquoi il est naturel, si $|r|<1,$ d’obtenir:
\[r+r^2 +r^2 +\cdots =\frac{r}{r-1} \: \:(^*)\]
g) en déduire que
\[r+r^2 +r^2 +\cdots =\frac{r}{r-1}\text{ si }|r| < 1.\]
h) lesquels des résultats des questions a à d peuvent s’expliquer par cette dernière formule?
i) montrer que si on pose $r=–1$ dans $(^*),$ on obtient l’affirmation d’Euler.
Vols de Collatz
Dans l’article sur les Envolées intersidérales, l’auteur décrit les vols de Collatz: On choisit un nombre entier positif $x.$ S’il est pair on le divise par 2 et s’il est impair, on le remplace par $3x + 1.$ On poursuit ainsi jusqu’à obtenir 1.
a) La durée d’un vol de Collatz est le nombre d’itérations avant de se poser en 1. Lequel des nombres premiers jumeaux 5 et 7 a la plus grande durée de vol?
b) La durée d’un vol en altitude est le nombre de termes de la suite supérieurs au nombre de départ. Lequel des nombres premiers 11 et 17 a la plus grande durée de vol en altitude?
c) L’altitude maximale d’un vol de Collatz est le plus grand nombre de la suite. Déterminer l’altitude maximale du vol de Collatz des nombres premiers 23 et 29.
d) Un vol de Collatz est dit vol de courte durée si le nombre d’itérations avant de se poser en 1 est égal ou inférieur au nombre de départ. Déterminer les vols de courte durée parmi ceux étudiés en a, b et c.
