Le raisonnement suivant semble être mené avec précaution et rigueur, il n’utilise que des propriétés élémentaires de la dérivation. Pourtant, il arrive à une conclusion absurde.
Considérons la fonction \(x \mapsto x^3.\) Elle est définie pour tout nombre réel. Calculons la dérivée de deux façons différentes :
a) Par la formule habituelle \((x^n)’ = nx^{n-1}.\)
Pour tout nombre réel \(x,\) on a donc :
\[ (x^3)’=3x^2 \]
b) Par le raisonnement suivant :
Pour tout entier \(x\geq 2,\) on écrit
\[x^3=x^2+x^2+x^2+ \cdots + x^2 \]
La somme à droite comporte \(x\) fois le terme \(x^2.\)
On dérive alors de chaque côté de l’égalité en utilisant que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
\[(x^3)’=(x^2)’+(x^2)’+(x^2)’+ \cdots + (x^2)’. \]
On applique la formule de dérivation \( (x^n)’=nx^{n-1}\) rappelée plus haut et qui donne \( (x^2)’=2x \):
\[ (x^3)’=2x+2x+2x+\cdots 2x.\]
On utilise le fait que le terme \(2x\) apparaît \(x\) fois et donc que la somme à droite de l’égalité vaut \(2x^2\) et on peut écrire :
\[ (x^3)’=2x^2\]
Pour tout entier \(x \geq 2,\) nous avons donc \( (x^3)’=3x^2\) par la formule usuelle a) et
\( (x^3)’=2x^2\) par le raisonnement détaillé en b).
Donc, pour tout entier \(x\geq 2,\)
\[3x^2=2x^2\]
On peut simplifier par \(x^2\) puisuqe \(x\) est non nul et on obtient
\[3=2\]
Où est l’erreur?
