Neuf joueurs portent des chapeaux dont la couleur est rouge, noire ou blanche. Chacun peut voir tous les autres chapeaux mais pas le sien. Les chapeaux ont été tirés au hasard à l’aide d’un dé (1 et 2 donnent noir, 3 et 4 donnent rouge, 5 et 6 donnent blanc). L’arbitre annonce que chaque joueur doit deviner la couleur de son chapeau en voyant les autres chapeaux, et que, si au moins trois d’entre eux donnent la bonne réponse, alors ils auront gagné un voyage à Londres tous ensemble. Les joueurs ont pu convenir d’une stratégie collective avant que les chapeaux soient disposés sur leurs têtes, mais ils donnent leur réponse simultanément sans n’avoir plus aucun échange entre eux une fois les chapeaux en place. En répondant au hasard, les joueurs auront une chance non négligeable de perdre. Précisément, ils perdent si 7, 8 ou 9 joueurs se trompent, ce qui se produit dans 37,7 % des cas. Même si cela vous semble paradoxal, ils peuvent réduire leur risque de perdre à 0, en convenant avant le jeu d’une stratégie astucieuse qui les fera gagner de manière certaine quelle que soit la répartition des chapeaux sur leur tête. Quelle est cette stratégie ?
Solution
Les joueurs se séparent en trois groupes de trois :
Groupe $A : A_0 , A_1 , A_2 ,$
Groupe $B : B_0 , B_1 , B_2 ,$
Groupe $C : C_0 , C_1 , C_2 .$
Dans chaque groupe, ils vont s’arranger pour que l’un d’eux donne la bonne réponse.
Attribuons un numéro à chacune des couleurs 0, 1 ou 2. Le joueur $A_0$ va jouer en proposant, pour son chapeau, la couleur telle que la somme des trois couleurs du groupe A fasse 0 ou 3 ou 6 (c’est-à-dire 0 mod 3).
Si, par exemple, il voit 1 et 1 pour les deux autres joueurs de son groupe, il parie 1 pour la couleur de son chapeau ; s’il voit 2 et 1, il parie 0 pour lui, etc.
Le joueur $A_1$ va jouer en proposant, pour son chapeau, la couleur telle que la somme des trois couleurs du groupe $A$ fasse 1 ou 4 (c’est-à-dire 1 mod 3).
Le joueur $A_2$ va jouer en proposant, pour son chapeau, la couleur telle que la somme des trois couleurs du groupe $A$ fasse 2 ou 5 (c’est-à-dire 2 mod 3).
L’un des trois aura correctement deviné la couleur de son chapeau, car la somme des trois couleurs du groupe $A$ vaut
– soit 0 mod 3 (auquel cas $A_0$ aura bon),
– soit 1 mod 3 (auquel cas $A_1$ aura bon),
– soit 2 mod 3 (auquel cas $A_2$ aura bon).
Les joueurs du groupe $B$ conviennent d’une méthode analogue, ainsi que ceux du groupe $C$. Dans chacun des groupes, un joueur devinera la couleur de son chapeau. Au total, trois joueurs (exactement) auront deviné la couleur et donc ils gagneront.
