Le mathématicien italien Bonaventura Cavalieri a développé une méthode, appelée « méthode des indivisibles », pour calculer des aires de surfaces et des volumes de solides. Cette méthode, qui n’était pas très rigoureuse, présente cependant des analogies avec les méthodes modernes.

Méthode des indivisibles

La méthode des indivisibles fut présentée en 1635 par Bonaventura Cavalieri dans son ouvrage Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Géométrie des continus par les indivisibles, exposée par une certaine nouvelle méthode, couramment appelé Traité des indivisibles). Cette méthode découle d’une conception de la matière et du continu propre à certains philosophes scolastiques, qui pensaient que la matière était composée de particules insécables ou atomes dont la nature et les propriétés diffèrent de celles de la matière. Dans cette conception la décomposition de la matière est limitée puisque celle-ci est constituée de ces particules. Pour Cavalieri, une ligne est constituée de points équidistants, une surface plane est constituée de droites parallèles équidistantes et un solide est composé de plans parallèles équidistants.

Le fondement de sa méthode pour les surfaces s’énonce comme suit:

Si deux figures planes sont comprises entre deux droites parallèles et si toutes les intersections de ces figures avec une droite parallèle aux deux premières ont même longueur, alors les figures planes ont même aire.

L’illustration ci-bas représente une application simple de la méthode des indivisibles.

Le rectangle et le parallélogramme sont compris entre deux droites parallèles PQ et RS. Si on trace une droite UV quelconque parallèlement aux droites PQ et RS, les segments interceptés par cette droite sont tous deux de longueur a, puisque des droites parallèles comprises entre deux parallèles ont même longueur. Cela étant vrai pour toutes les droites que l’on peut tracer parallèlement à PQ et à RS, il s’ensuit, selon le principe de Cavalieri, que l’aire du parallélogramme est égale à l’aire du rectangle, soit A = ab. On conclut que:

L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur.

La méthode de Cavalieri peut être généralisée pour trouver l’aire de figures lorsque l’aire des indivisibles est dans un rapport donné:

Si deux figures planes ont même hauteur et si des sections qui sont obtenues par des lignes parallèles aux bases et à égale distance de celles-ci sont toujours dans un rapport donné, alors les aires des deux figures sont aussi dans le même rapport.

Kepler a procédé de cette façon pour déterminer des aires en comparant des figures dont des sections sont toujours dans un rapport donné. En particulier, il a déterminé l’aire d’une ellipse dont la demi-longueur du grand axe est b et dont la demi-longueur du petit axe est a. Il compare les sections de cette ellipse à celles d’un cercle de rayon a. Dans la figure suivante, le cercle et l’ellipse sont deux figures planes comprises entre deux droites parallèles IJ et KL.

En considérant que l’ellipse est obtenue par un étirement horizontal d’un facteur b/a, si on trace une ligne GH parallèle aux droites I J et KL, on détermine des segments AB et CD de telle sorte que:

\[\overline{CD}= \frac{b}{a}\overline{AB}\]

Cette caractéristique est vraie pour tous les segments et on conclut:

\[A_{\text{ellipse}}=\frac{b}{a} \times \pi a^2 = \pi ab.\]

Il est important, lorsqu’on développe une procédure nouvelle, de s’assurer que les résultats qu’on obtient avec cette procédure sont les mêmes que ceux déjà connus. Ainsi, Archimède avait utilisé la méthode d’exhaustion³, accompagnée d’une double réduction à l’absurde, pour montrer que l’aire d’un cercle n’est ni plus petite, ni plus grande que l’aire d’un triangle dont la base est égale à la circonférence du cercle et la hauteur est égale à son rayon. Ce raisonnement permettait de conclure que l’aire du cercle et l’aire du triangle devaient être égales.

Ce résultat d’Archimède peut-il être obtenu par la méthode des indivisibles ?

Pour le montrer, il faut considérer que l’aire d’un disque circulaire est constitué de cercles concentriques. En déroulant ces cercles, on obtient des segments de droite qui forment un triangle dont la base est \(2\pi r\) et la hauteur est \(r\) L’aire du triangle est donc égale à \(\pi r^2\).⁴

Parmi les courbes étudiées par Archimède, l’une d’elles porte aujourd’hui son nom. La spirale d’Archimède est décrite par le déplacement d’un point sur une demi-droite selon un mouvement uniforme tandis que la demi-droite tourne autour de son extrémité, elle aussi selon un mouvement uniforme. Archimède a démontré que l’aire de la spirale, après un premier tour de la demi-droite, est égale au tiers de l’aire du disque qui la contient.

L’aire comprise entre la spirale et la demi-droite replacée dans la position d’où elle est partie vaut le tiers de l’aire du cercle ayant comme centre l’extrémité fixe de la droite et dont le rayon r est le segment que le point a parcouru pendant une révolution de la demi-droite.

Pour parvenir au même résultat par la méthode des indivisibles, on décompose la surface à l’aide d’arcs de cercles centrés à l’origine de la spirale. En redressant ces arcs de cercle, on obtient des segments de droite. Le principe de construction de la spirale d’Archimède permet de dire que si la demi-droite a décrit un angle au centre a (exprimé en radians), la distance du point à l’origine est:

\[r\frac{\alpha}{2 \pi}\]

C’est le rayon d’un arc de cercle dont la longueur est:

\[L=r\frac{\alpha}{2 \pi}(2 \pi-\alpha)=r \left ( \alpha – \frac{\alpha^2}{2 \pi} \right ), \]

où a est un angle variant de 0 à\( 2\pi\) (voir section problèmes). Cette dernière expression est l’équation d’une parabole dont la variable indépendante est \(\alpha\).

Par conséquent, les arcs de cercles, une fois redressés, sont les indivisibles d’une parabole dont la base est r et la hauteur \(\pi r/2\) (voir section problèmes). Depuis Archimède, on sait que l’aire d’une telle surface parabolique est égale au 2/3 de l’aire du rectangle qui la contient⁵.

La parabole et la spirale sont constituées des mêmes indivisibles, une fois que l’on a rectifié ceux de la spirale. Leurs aires sont donc égales et l’aire de la spirale est:

\[A=\frac{2}{3} r \times \frac{\pi r}{2} = \frac{\pi r^2}{3}.\]

Calcul de volumes

Cavalieri a utilisé la méthode des indivisibles pour calculer le volume de différents solides. Le principe des indivisibles pour un volume s’énonce comme suit:

Si deux solides sont compris entre deux plans parallèles et si toutes les intersections de ces solides avec un plan parallèle aux deux premiers ont même aire, alors les solides ont même volume.

On peut illustrer la signification de ce théorème à l’aide d’un parallélépipède rectangle et d’un cylindre circulaire droit. Le parallélépipède rectangle peut être conçu comme une pile de cartes rectangulaires alors que le cylindre peut être conçu comme une pile de cartes rondes. Si les piles ont même hauteur (ou le même nombre de cartes de même épaisseur), et si les cartes rondes ont la même aire que les cartes rectangulaires, alors les deux piles occupent des volumes égaux.

Or, le volume d’un parallélépipède rectangle est le produit de ses trois dimensions ou encore le produit de l’aire de sa base par sa hauteur, soit:

\[V=Bh.\]

Par sa méthode des indivisibles, Cavalieri conclut que le volume du cylindre est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur. L’aire de cette base étant:

\[A = \pi r^2,\]

où r est le rayon de la base du cylindre. Le volume du cylindre est donc:

\[V = \pi r^2h,\]

où h est la hauteur du cylindre.

Volume de la sphère

Par la méthode d’exhaustion, Archimède avait obtenu un autre résultat important, le volume de la sphère. En écriture moderne, il a montré que:

\[V_{\text{sphère}} =\frac{4}{3} \times \pi r^3.\]

Peut-on parvenir au même résultat par la méthode des indivisibles?

Cavalieri a considéré une demi-sphère de rayon r et un cylindre de rayon et de hauteur r creusé en forme de cône inversé, tel qu’illustré par la figure ci-contre.

Dans cette figure, les deux solides sont compris entre deux plans parallèles puisque la hauteur du cylindre est égale au rayon de la sphère. Imaginons maintenant un plan parallèle au plan P, coupant les deux solides, et dont la distance au plan P est égale à h. L’intersection de ce plan avec la demi-sphère donne un cercle et l’intersection avec l’autre solide donne un anneau.

Cavalieri compare l’aire du cercle et l’aire de l’anneau. Le rayon R du cercle est un côté de l’angle droit du triangle rectangle dont un des côtés est h et l’hypoténuse est r. Le rayon du cercle est donc:

\[R=\sqrt{r^2-h^2},\]

et son aire est:

\[A = \pi (r^2 – h^2).\]

L’aire de l’anneau est la différence de l’aire du cercle extérieur et du cercle intérieur. Le cercle extérieur a même rayon que le cylindre et son aire est:

\[A_1 =\pi r^2.\]

Le rayon du cercle intérieur de l’anneau est h puisque le rayon et la hauteur du petit cône sont égaux. L’aire du cercle intérieur est donc:

\[A_2 = \pi h^2\]

et l’aire de l’anneau est:

\[A = A_1 – A_2 = \pi r^2 – \pi h^2 = \pi(r^2 – h^2).\]

Quel que soit le plan sécant, son intersection avec la demi-sphère aura toujours la même aire que son intersection avec le cylindre de creux conique.

Cavalieri en conclut que le volume de la demi-sphère est égal à la différence des volumes du cylindre et du cône. Or, le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur r est:

\[V_{\text{cylindre}} = \pi r^3\]

et le volume d’un cône (on le sait!) est le tiers du volume du cylindre de même rayon et de même hauteur. Le volume de la demi-sphère est donc:

\[V_{\text{demi-sphère}}=\pi r^3 – \frac{1}{3} \pi r^3 =\frac{2}{3} \pi r^3\]

et le volume de la sphère est:

\[V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3} \pi r^3.\]

La méthode des indivisibles peut également être utilisée lorsque les aires des tranches de deux solides sont dans un même rapport. C’est ce qu’indique la proposition suivante, connue sous le nom de Théorème de Cavalieri et utilisée en stéréométrie, domaine de la géométrie qui a pour objet la mesure des solides.

Si deux solides ont même hauteur et si des sections qui sont obtenues par des plans parallèles aux bases et à égale distance de celles-ci sont toujours dans un rapport donné, alors les volumes des deux solides sont aussi dans le même rapport.

Critique des indivisibles

La méthode des indivisibles a fait l’objet de critiques du fait que les indivisibles ne sont jamais clairement définis. Ces critiques ont forcé Cavalieri à poursuivre ses B travaux et il était conscient que mal utilisée, la méthode des indivisibles pouvait déboucher sur des paradoxes. Ainsi, dans une lettre à Evangelista Torricelli (1608-1674), Cavalieri présente la figure ci-contre. Il y constate que la méthode des indivisibles permet de conclure que dans un triangle ABC dont les côtés AB et BC sont inégaux, la hauteur BD divise le triangle en deux triangles de même aire. En effet, des coupes horizontales comme JK, IL et HM déterminent des segments indivisibles verticaux égaux deux à deux ( \(\overline{JG} = \overline{KN},\) etc.). Les triangles ABD et BCD ont donc même aire.

Dans son analyse de ce paradoxe, Cavalieri souligne que les indivisibles ne sont pas également distribués dans les deux sous-triangles, ce qui ne règle rien: que signifie une « distribution égale » de lignes sur une surface qui en contient une infinité?

Le plus acharné des détracteurs de Cavalieri est le suisse Paul Guldin, mais la controverse les opposant n’était pas seulement mathématique, elle était aussi une opposition idéologique et philosophique. La méthode des indivisibles allait à l’encontre des prin- cipes fondamentaux des « mathématiques jésuites ». La tradition mathématique jésuite, établie par Christopher Clavius (1538-1612), s’inspirait en effet de la démarche euclidienne. Les mathématiques devaient procéder selon une approche systématique et déductive en partant de postulats simples, et en allant vers des théorèmes de complexité croissante, pour décrire les relations universelles entre les figures. Cet idéal se manifestait dans les preuves constructives.

C’est en adoptant cette démarche que l’on peut construire une connaissance cohérente et hiérarchisée. De même, en adoptant des principes abstraits et en appliquant une démarche déductive, il était possible de construire un monde fixe et rationnel dont les vérités sont universelles et incontestables. Pour Clavius, la géométrie euclidienne était la science la plus proche de l’idéal jésuite de certitude, de hiérarchie et d’ordre.

La méthode des indivisibles jetait un pavé dans la mare tranquille des certitudes jésuites. Cavalieri n’avait pas recours à des preuves constructives, il considérait une figure exis tante et la découpait en tranches pour obtenir ses résultats (voir encadré en haut de la page 24). Qui plus est, cette méthode, utilisée à mauvais escient, pouvait générer des paradoxes, symbole de désordre et de chaos.

Que sont les indivisibles devenus?

De nos jours, pour déterminer l’aire d’une surface selon les principes du calcul intégral, on la découpe en tranches rectangulaires et on calcule la limite de la somme des aires de ces tranches lorsque leur largeur tend vers 0.

De même, pour calculer le volume d’un solide, on le découpe maintenant en tranches et on calcule la limite de la somme des volumes des tranches lorsque leur épaisseur tend vers 0.

Pour en s\(\alpha\)voir plus!

• Alexander, Amir, Guldin et les indivisibles de Cavalieri, Pour la Science, N° 440, (2014) 70-73.
• Colette, Jean-Paul, Histoire des mathématiques, Éditions du Renouveau pédagogique inc, Montréal, 1973, p. 197.
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, fourth edition, HRW, New-York. 1976, pp. 313-315.
• Lefebvre, Jacques, Moments et aspects de l’histoire du calcul différentiel et intégral, Deuxième partie: Moyen Âge et dix-septième siècle avant Newton et Leibniz, Bulletin AMQ, 36(1) (1996) 29-40.
• Radelet-de Grave, Patricia, Kepler, Cavalieri, Guldin. Polemics with the Departed,
  Seventeenth-Century Indivisibles Revisited, Vincent Julien Editor, Birkhäuser, 2015, pp. 57-86.
• Struik, D.J., A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1969, p. 218.

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