Indivisibles de Cavalieri
Calcul d’aires
Dans la figure ci-contre, la demi-droite OD, en rotation de sens horaire à une vitesse constante, a décrit un angle \(\alpha\) et le point générateur, en se déplaçant à une vitesse constante, est parvenu en B. Déterminer :
- la longueur du rayon OB.
- la longueur L de l’arc de cercle AB.
- l’aire de la surface formée par les indivisibles de la spirale.
Par la méthode des indivisibles :
- déterminer l’aire de la surface latérale d’un cylindre de rayon r et de hauteur h.
- déterminer l’aire de la surface latérale d’un cône de rayon r et de hauteur h.
Par le théorème de Pappus-Guldin, déterminer l’aire de la surface engendrée par la rotation :
- d’un segment de droite \(\Delta\) autour d’un axe qui lui est parallèle et qui est situé à une distance a du segment de droite.
- d’un segment de droite de longueur L dont l’une des extrémités est sur l’axe de rotation et l’autre extrémité est à une distance b de cet axe.
Comparer les résultats à ceux obtenus en 2.
Calcul de volumes
- Par la méthode des indivisibles :
- déterminer le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h.
- déterminer le volume d’un cône de rayon r et de hauteur h.
Par le théorème de Pappus-Guldin, déterminer le volume du solide engendré par la rotation :
- du rectangle illustré autour d’une de ses hauteurs.
- du triangle rectangle ci-contre autour du côté de longueur h.
Comparer ces résultats à ceux obtenus en 4.
- En notation moderne, Archimède a démontré que l’aire d’une sphère est \(A = 4 \pi r^2\) et son volume \(V = 4 \pi r^3/3.\) À l’aide du théorème de Pappus-Guldin, déterminer :
- le centre de gravité de la demi-circonférence de rayon r.
- le centre de gravité du demi-disque de rayon r.
Découper une pizza
Jacques découpe une pizza avec trois traits en choisissant un point sur la circonférence comme point de rencontre des traits.
- En considérant un rayon unitaire, calculer l’aire de la surface contenant le centre (partie jaune).
- Julie choisit la partie contenant le centre, calculer en pourcentage la part de la pizza qu’elle reçoit.
Glanures mathématico-littéraires
EÌtant donné une droite m située dans un plan, on s’intéresse à la transformation géométrique de réflexion (axiale) dans m, par laquelle tout point P du plan a pour image le point P’ tel que le segment PP’ est perpendiculaire à m et coupé en son milieu par m. (Cette transformation peut être vue comme représentant, dans le plan, l’effet miroir.)
On s’intéresse ici à l’ensemble de toutes les images obtenues par des réflexions successives dans deux droites données, a et b. On considérera à cette fin un objet non symétrique (par exemple la lettre « L ») placé entre les deux « miroirs ».
- Lorsque les deux miroirs sont parallèles, la figure qui en résulte est une frise. Décrire l’ensemble des images alors obtenues.
- Lorsque les deux miroirs sont concourants, on obtient une rosace. Examiner l’effet du choix de l’angle entre les miroirs. Quelles sont les valeurs de cet angle qui mènent à des rosaces particulièrement intéressantes, au regard de la symétrie des images obtenues?
