Section problèmes : Vol. 6, hiver-printemps 2011
Effet de serre (secondaire)
- L’albédo d’une planète, notée \(a\), est égale à la fraction de la lumière émise par son étoile qui est réfléchie à sa surface. Par exemple, si une planète est noire, alors son albédo est \(a = 0\) et si la planète était recouverte de miroirs, alors \(a = 1\). Montrer qu’une planète avec une seule couche de GES et un albédo \(a\) aurait une température de
\displaystyle T_p = \sqrt[4]{2(1-a)} \frac{T_s}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{R_s}{D}}.
- En considérant que la distance de la Terre au Soleil est \(D = 1{,}5\times 10^8\)km, que la température du Soleil est \(5780\) K, son rayon \(R=6{,}7\times 10^5\)km et que l’atmosphère de la Terre contient une couche de GES, utiliser la formule précédente pour prédire la température moyenne de la Terre. Comparer avec la valeur actuelle.
L’effet papillon (collégial)
- Soit la fonction \( f: [0,1] \to [0,1] \) définie par
\[ f(x)= \begin{cases} 2x & x \in [0, 1/2] \\ 2x-1 & x \in \; ]1/2, 1] \end{cases} \]
On s’intéresse aux suites \( \{ x_n \} \) définies par récurrence comme suit :
\[ \displaystyle\begin{cases} x_0 \in [0, 1] \\ x_{n+1} = f(x_n) \end{cases} \]
- Tracer le graphique de \(f.\)
- En utilisant que tout \(x \in [0, 1]\) s’écrit en base 2 comme \( x=(0,a_1 a_2 a_3 \ldots )_2 \) où \(a_i \in \{0,1\}\) montrer que \( f(x)=(0, a_2 a_3 a_4 \ldots )_2. \) Sauf si \(x=1/2 \) ou \(x=1\)).(Rappel : l’écriture \( x=(0,a_1 a_2 a_3 \ldots )_2 \) signifie que \( x= \displaystyle\sum _{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{2^i}\) où, pour tout \(i\), \(a_i \in \{0,1\} . \)
- (Difficile) Montrer que a) est encore valable si on remarque que
\[ 1=(0,111 \ldots)_2 \text{ et } 1/2=(0,0111\ldots)_2 \]
(Pour cela il faut calculer la somme de la série donnée par le développement en base 2.) Donner de la même manière un développement infini pour tout nombre \(x_0 = 1/2^n\).
- Si on prend \(x_0\) tel que \(x_n =x_0\) ,et \(x_k \neq x_0\) pour \(0 < k < n\), alors on dit que \( \{x_0, \ldots , x_{n-1}\} \) est une orbite périodique de période \(n\). Montrer que \(f\) a des orbites de toutes les périodes. Suggestion : prendre \(x_0\) dont le développement en base 2 est de période \(n.\)
- Montrer que si \(x\) et \(y\) ont les mêmes \(n\) premiers chiffres \(0\) ou \(1\) après la virgule dans le développement en base 2 (lorsqu’on utilise un développement infini), alors \( |x-y| \leq1/2^n .\)
- (Difficile) Montrer que \(f\) a une orbite partout dense. Suggestion : énumérer toutes les suites finies de \(0\) et de \(1\), soit toutes les suites de longueur 1, puis toutes celles de longueur 2, puis toutes celles de longueur 3, etc. et les mettre bout à bout pour faire le développement en base 2 de \(x_0\). Montrer que pour tout \( y_0 \in [0,1] \) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe \(m \in \mathbb{N}\) tel que \( |x_m-y_0| \leq1/2^n .\)
- Se convaincre que \(f\) est sensible aux conditions initiales. Suggestion : en utilisant e), voir qu’il est possible de choisir \(x_0\) et \(y_0\) très proches, par exemple \( |x_0-y_0| \leq1/2^n \), tels que pour \(m > n,\) alors \(x_m\) et \(y_n\) n’ont plus rien en commun.
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