Julie et Jacques, chaque jour, gagnent deux pièces d’or et en dépensent une. Mais, à la fin des temps, Julie sera infiniment riche et Jacques complètement ruiné.
Julie procède de la façon suivante pour gérer son argent :
Le jour numéro \(n,\) elle gagne deux pièces que nous noterons \(P_n\) et \(Q_n.\) Elle place \(P_n\) dans son grenier sous la pile des pièces qu’elle a déjà économisées et prend \(Q_n\) qu’elle dépense.
Le premier jour, la pile de pièces de son grenier est \([P_1],\) le second jour \([P_1, P_2],\) le troisième \([P_1, P_2, P_3]\) (le dessous de la pile est à droite).
Jacques lui, craignant l’usure du temps, préfère faire circuler ses pièces et trouve plus malin de procéder ainsi :
Chaque jour, il place sous la pile des pièces de son grenier les deux pièces \(P_n\) et \(Q_n\) qu’il vient de gagner. Il prend alors la pièce qui se trouve au-dessus de la pile et la dépense.
Le premier jour, sa pile est donc \([Q_1]\) (il a placé \(P_1\) et \(Q_1\) dans sa pile de pièces et s’est servi). Le second jour, sa pile est devenue \([P_2, Q_2]\) (il a ajouté les deux nouvelles pièces \(P_2\) et \(Q_2\) sous la pile c’est-à -dire à droite, ce qui lui a donné \([Q_1, P_2, Q_2]\) et s’est servi au-dessus). Le troisième jour, sa pile est devenue \([Q_2, P_3, Q_3],\) le quatrième \([P_3,Q_3,P_4,Q_4],\) et le cinquième \([Q_3, P_4, Q_4, P_5, Q_5],\) etc.
À la fin des temps, bien qu’ayant gagné et dépensé la même chose chaque jour, Julie sera infiniment riche et Jacques sera totalement ruiné.
En effet, Julie, à la fin des temps, disposera dans son grenier des pièces \(Q_1, Q_2, Q_3, \dotsc\) soigneusement économisées chaque jour.
Jacques, de son côté, n’aura rien car chaque pièce qu’il aura placée dans sa pile aura été dépensée. On peut même préciser :
la pièce \(P_n\) placée dans la pile le jour numéro \(n\) aura été dépensée le jour \(2n-1,\) et la pièce \(Q_n,\) elle aussi placée dans la pile le jour numéro \(n,\) aura été dépensée le lendemain, soit le jour \(2n.\) Chaque pièce finit par être dépensée, donc au final il ne reste rien à Jacques.
N’est-ce pas absurde (et injuste) que, gagnant et dépensant la même chose, Julie soit devenue infiniment riche et Jacques totalement ruiné!
Qu’en pensez-vous?
