L’o-dix-ée vers l’ouest

Les nombres décimaux sont si communs de nos jours qu’on ignore parfois qu’ils sont le fruit d’une longue épopée à travers l’histoire de l’humanité. Retour sur l’origine des nombres.

Dix doigts ne suffisent pas

L’évolution a conféré dix doigts à l’espèce humaine, ainsi que la faculté de s’en servir pour compter, c’est à dire de représenter une petite quantité d’objets et d’effectuer naturellement des opérations simples comme des comparaisons et des additions.

Au néolithique, les sociétés s’organisent autour de l’agriculture et du commerce, et la complexité des problèmes mathématiques (comme tenir un inventaire, mesurer la taille d’un champ ou établir la valeur d’une marchandise) dépasse vite la capacité de nos dix doigts. Il faut donc développer des outils pour pouvoir compter plus loin.

L’écriture, apparue indépendamment dans plusieurs civilisations à cette étape de leur développement, s’impose comme un outil idéal pour représenter de grands nombres et effectuer des calculs complexes.

Si un doigt représente seulement une unité, alors les doigts nous limitent à compter jusqu’à dix¹. Mais si on se représente le tout comme une dizaine, qu’on dénote par un nouveau symbole, on peut compter ces dizaines avec nos doigts et ainsi de suite.

Cette idée de regroupement se retrouve, d’une façon ou d’une autre, dans tous les systèmes d’écriture numérique connus de l’histoire ancienne. On la retrouve gravée dans la pierre de temples égyptiens vieux de deux à cinq millénaires, sous forme de hiéroglyphes. Par exemple le nombre 2026 s’y écrit

Les limites d’un système basé uniquement sur la notion de regroupement s’imposent vite : les nombres peuvent être très longs à lire et à écrire, et puisqu’il faut inventer un nouveau symbole pour chaque nouvelle puissance de dix, on ne peut pas gérer de très grands nombres. La solution à ce problème, soit le système décimal positionnel, trouve ses véritables origines beaucoup plus à l’est.

Au pays du soleil levant

En Chine, les plus anciennes traces d’écriture sont gravées sur des morceaux d’os ou d’écailles de tortue (l’écriture ossécaille). On y retrouve notamment les chiffres de 1 à 9, qu’on peut combiner à d’autres symboles pour représenter les dizaines, centaines, etc. Par exemple, le nombre 356 s’écrit

Vers le cinquième siècle av. J-C, les mathématiciens chinois avaient développé des méthodes de calcul avec de petites baguettes disposées en rangées et en colonnes sur une surface (des tableaux de calcul). Comme il n’était pas possible, dans ce contexte, d’introduire un nouveau symbole pour chaque nouvelle puissance de dix, ils utilisèrent plutôt les colonnes du tableau pour cela, en alternant entre deux séries de dispositions de baguettes pour représenter les chiffres de 1 à 9.

Par exemple, le nombre 27 603 s’écrit :

(notons l’espace vide pour représenter le zéro). Ainsi, on pouvait, d’un tour de baguettes, effectuer rapidement des calculs complexes, allant des simples additions et soustractions aux racines carrées et cubiques.

Vers l’an zéro de notre ère, on utilisait même des baguettes de différentes couleurs pour dénoter les nombres négatifs. Le concept de nombre négatif était complètement absent des mathématiques occidentales à ce moment-là.

L’innovation indienne

Au tournant du VII^e siècle, les Indiens délaissèrent tous les symboles utilisés jusque là pour écrire les nombres, à l’exception des chiffres de 1 à 9, et adoptèrent ainsi le système décimal positionnel à l’écrit. Certains historiens expliquent ce changement par l’influence des Chinois, avec qui les Indiens marchandaient.

On attribue au mathématicien indien Brahmagupta [598–670] l’invention du nombre zéro, à l’équilibre entre les entiers positifs (avoirs) et négatifs (dettes). On trouve d’ailleurs, dans un temple près de Gwalior en Inde centrale, l’un des premiers usages d’un point au lieu de l’espace vide pour représenter le zéro. Ce point devint graduellement un cercle avec l’évolution de l’écriture.

La conquête arabe

Du VII^e au VIII^e siècle, l’empire arabo-musulman est en pleine expansion, et s’étendra, à son apogée, du Portugal jusqu’en Inde (Voir carte en ci-dessous).

À Bagdad, la capitale impériale, le calife fit construire la Maison de la Sagesse, une bibliothèque où étaient rassemblés les plus grands savants et des documents des quatre coins de l’empire. Le savant d’origine perse, al-Khwarizmi², y traduisit les travaux de mathématiciens indiens dans la langue et la calligraphie arabe. Il propagea ainsi l’usage du système décimal positionnel à tout l’empire.

D’autres savants traduisirent les travaux des géomètres de l’ancienne civilisation grecque en langue arabe, et ce mélange d’idées et de cultures harmonisa la science mathématique en un tout cohérent. Mais ils ne se contentèrent pas de traduire les mathématiques : ils les poussèrent plus loin. Par exemple, le mathématicien al-Samaw’al [1125-1174] appliqua, au système décimal, les méthodes de Diophante d’Alexandrie [III^e siècle] pour développer l’arithmétique des nombres à virgule à un degré arbitraire de précision. Le système décimal n’était donc plus seulement utile pour représenter les nombres entiers, mais bien n’importe quelle quantité réelle.

L’entrée en Europe

Les croisades opposèrent les armées musulmanes et chrétiennes pendant des siècles au moyen âge. Ces dernières réussirent à arracher l’Espagne aux musulmans et, avec elle, certains fragments de connaissance mathématique. Gerbert d’Aurillac³ se servit des chiffres de 1 à 9 pour concevoir des abaques. Le zéro, qui n’a aucun équivalent dans les chiffres romains, prit plus de temps à s’imposer chez les intellectuels de l’époque.

C’est un fils de marchand, Fibonacci⁴, qui en établit l’usage, deux siècles plus tard. Ce dernier avait reçu une éducation mathématique dans le monde arabe au cours des voyages de son père, et publia un traité de mathématiques, Liber Abaci⁵, où le système décimal était appliqué à résoudre une panoplie de problèmes concrets.

Au XV^e siècle, avec l’avènement de la presse de Gutenberg, l’écriture même des dix chiffres s’est cristallisée pour devenir la norme.

Cap vers le nouveau monde

Comme beaucoup d’autres éléments de la culture européenne, l’imposition du système décimal en Amérique s’est faite par la force de la colonisation, et souvent au détriment de la culture locale.

Par exemple, les conquistadors espagnols, lorsqu’ils envahirent l’Amérique centrale, balayèrent du même coup le fait que les Mayas, qui y vivaient avant eux, utilisaient eux-mêmes un système positionnel, basé sur le nombre vingt plutôt que dix, et incluant le zéro. C’est un héritage que l’on redécouvre à peine, depuis moins d’un siècle.

Ainsi, même un élément de notre quotidien aussi banal que les chiffres porte en lui toute l’histoire de l’humanité.

Pour en s\(\alpha\)voir plus !

• André Ross. « Algorithmes au cours de l’histoire ». Accromath, 14(2), 2019.
• Bernard R. Hodgson. « Balades algébriques du temps jadis ». Accromath, 20(1), 2025.
• Karl Menninger. Number Words and Number Symbols, A Cultural History of Numbers. Dover, 1992.

PDF