Zia explique à Léo comment cacher tous les triplets pythagoriciens.
Zia
J’ai quelques questions pour toi. Est-ce que tu connais les triplets pythagoriciens ?
Léo
Bien sûr, ce sont les triplets (a; b; c) qui sont solution une du théorème de Pythagore
\[a^2 + b^2 = c^2, \]
comme (3; 4; 5) où (5; 12; 13).
Zia
Sais-tu, par exemple, que (3; 4; 5) et (5; 12; 13) sont appelés triplets pythagoriciens primitifs et leurs multiples, comme (6; 8; 10) ou (15; 36; 39) ne sont pas primitifs ?
Léo
Je ne connaissais pas l’appellation triplets pythagoriciens primitifs.
Zia
Savais-tu qu’on peut associer chaque triplet à un point du quart du cercle trigonométrique ?
Léo
Ça n’a pas rapport, l’équation du cercle trigonométrique est
\[x^2 + y^2 = 1. \]
Zia
Au lieu de multiplier par un nombre entier positif, tu multiplies par l’inverse multiplicatif du plus grand des nombres du triplet. Tu obtiens alors
\[\displaystyle \left ( \frac{3}{5}; \frac{4}{5}; 1 \right ) \text { et } \left ( \frac{5}{13}; \frac{12}{13}; 1 \right ). \]
Le point (3/5; 4/5) est bien un point du cercle trigonométrique, tout comme (5/13; 12/13).
Léo
C’est vrai aussi pour les couples (4/5; 3/5) et (12/13; 5/13) qui correspondent aux triplets (4; 3;5) et (12; 5; 13).
Zia
Tu as sans doute remarqué qu’à partir du point A(0; 1), on peut tracer une droite passant par le point P associé à un triplet pythagoricien et que cette droite coupe l’axe horizontal en un point Q de coordonnées (r; 0).
Essayons de trouver la valeur de r en connaissant le triplet pythagoricien. Prenons le point P(3/5; 4/5) qui correspond au triplet (3; 4; 5), essayons de trouver la valeur de r du point Q (r; 0), prolongement de la droite AQ jusqu’à sa rencontre avec l’axe des x.
Le rapport des côtés est le même dans les deux triangles rectangles tracés entre les trois points. On a donc
\[\displaystyle \frac {1-4/5}{0-3/5} = \frac{1-0}{0-x}, \text{ d’où } x=3.\]
Si je choisis plutôt le point (4/5; 3/5) associé au triplet (4; 3; 5), j’obtiens :
\[\displaystyle \frac {1-3/5}{0-4/5} = \frac{1-0}{0-x}, \text{ d’où } x=2.\]
Léo
La valeur de r n’est pas toujours un nombre entier. En prenant le point (12/13; 5/13), je trouve r = 3/2.
Zia
Supposons que les coordonnées du point associé à un nombre pythagoricien sont P (x; y).
Le rapport des côtés est alors
\[\displaystyle \frac {1-y}{0-x} = \frac{1-0}{0-r}, \text{ d’où } 1 = \frac{x}{r}.\]
c’est l’équation de la droite APQ.
Léo
Je vois, il faut rechercher le point de rencontre de la droite AQ et du cercle trigonométrique. On a vu en classe qu’il faut substituer les données de l’équation de la droite dans celle du cercle. On obtient
\[\begin{array}{r r r} x^2 + \left ( 1- \displaystyle \frac{x}{r} \right )^2 & = & 1 \\ x^2+1- \displaystyle \frac{2x}{r}+ \frac{x^2}{r^2} & = & 1 \\ x^2 + \displaystyle \frac{x^2}{r^2}- \frac{2x}{r}&= &0 \end{array}\]
Zia
C’est une équation quadratique, on peut trouver ses zéros en factorisant, puisque la constante est nulle. On obtient
\[x^2 \left ( 1+\displaystyle \frac{1}{r^2} \right ) = \frac{2x}{r}\]
Ce qui donne x = 0 et
\[x \left ( 1+\displaystyle \frac{1}{r^2} \right ) = \frac{2}{r},\]
d’où
\[x= \displaystyle \frac{2/r}{1+1/r^2} = \frac{2/r}{(r^2+1)/r^2} = \frac{2r}{r^2+1}. \]
Qu’est-ce qu’on peut dire de plus ?
Léo
Cette valeur est l’abscisse du point P en la substituant dans l’équation de la droite, on obtient
\[\begin{array} {l c l} y & = & 1- \displaystyle \frac{2r/(r^2+1)}{r} = 1 -\frac{2}{r^2+1} \\ & = & \displaystyle \frac{r^2+1}{r^2+1} -\frac{2}{r^2+1} = \frac{r^2-1}{r^2+1}. \end{array}\]
Les coordonnées du point sur le cercle trigonométrique sont donc
\[ \displaystyle \left ( \frac{2r}{r^2+1} ; \frac {r^2-1}{r^2+1} \right ). \]
Zia
Vérifions que tout fonctionne, si r = 3, les coordonnées du point sont
\[ \displaystyle \left ( \frac{2 \times 3}{3^2+1} ; \frac {3^2-1}{3^2+1} \right ) = \left ( \frac{6}{10} ; \frac {8}{10} \right ) = \left ( \frac{3}{5} ; \frac {4}{5} \right ). \]
Et, en posant r = 2, on obtient (4/5; 3/5).
Léo
Puisque le point P représente un triplet pythagoricien, ses coordonnées sont des nombres rationnels. Par conséquent, la pente de la droite AQ est un nombre rationnel et, puisqu’un des points de la droite, soit (0; 1), est formé de deux nombres rationnels, les coordonnées du point Q sont des nombres rationnels. Réciproquement, si r est un nombre rationnel, les coordonnées du point P sont des nombres rationnels.
Zia
Puisque r est un nombre rationnel, on peut le représenter par p/q. En substituant dans les coordonnées, on obtient
\[ \displaystyle \left ( \frac{2pq}{p^2+q^2} ; \frac {p^2-q^2}{p^2+q^2} \right ), \]
où p et q, tels que p > q > 0 sont des nombres rationnels.
Léo
Prenons le nombre rationnel r = p/q = 5/2 qui donne
\[ \displaystyle \left ( \frac{2pq}{p^2+q^2} ; \frac {p^2-q^2}{p^2+q^2} \right ) = \left ( \frac{20}{29} ; \frac {21}{29} \right ). \]
Ce point est donc associé au triplet pythagoricien primitif (20; 21; 29).
Zia
Si j’essaie avec r = p/q = 7/3, j’obtiens
\[ \displaystyle \left ( \frac{2pq}{p^2+q^2} ; \frac {p^2-q^2}{p^2+q^2} \right ) = \left ( \frac{42}{58} ; \frac {40}{58} \right ). \]
Ce point est associé au triplet (42; 40; 58), celui-ci n’est pas primitif. Le triplet primitif associé est (21; 20; 29).
Léo
Super ! On peut tous les trouver.
