Courte pièce de théâtre en un seul acte et à deux personnages, se déroulant à une époque incertaine — mais où fourmillent des connaissances issues tant de la géométrie de la Grèce antique que de l’algèbre de la Renaissance. Le rideau s’ouvre sur un parc. Assises sur un banc, Madame Figure Géométrique et Madame Équation Algébrique conversent, tandis que les abondantes progénitures de l’une et de l’autre jouent dans un vaste carré de sable en y traçant des figures et des signes divers.

Madame Figure Géométrique (F.G.)
J’ai reçu ce matin même un colis contenant une foule de documents, dont certains en rapport avec Hippocrate.

Madame Équation Algébrique (É.A.)
Le toubib ?¹

F.G.
Non, notre Hippocrate, le géomètre.² J’y ai trouvé entre autres une figure vraiment fascinante. Regardez.

É.A.
C’est en effet assez joli. Mais vous savez bien, chère amie, que ce genre de figure, pour moi c’est du chinois. Je préfère l’algèbre !

F.G.
On n’est pourtant pas ici dans les maths chinoises, mais bien chez les Grecs de l’Antiquité. De fait, il s’agit, à mes yeux, d’un petit bijou de la géométrie dont le point de départ serait la figure suivante.

(Avec un bâton, Madame F.G. commence à tracer une série de figures sur le sol.)

Vous la reconnaissez certainement : c’est celle qui accompagne la proposition 47 du Livre I des Éléments de ce cher Euclide.

On est là, je vous assure, dans de la géométrie fort belle, avec le fameux théorème de l’hypoténuse, auquel l’histoire a attribué le nom de Pythagore, notre maître à tous : les carrés construits sur les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle sont égaux, en aire, à celui construit sur l’hypoténuse.

É.A.
Je vois bien sûr ce dont vous parlez. Mais sachez qu’il y a là aussi en action de l’algèbre dans toute sa splendeur! Quant à moi, convenant d’appeler a et b les longueurs des deux cathètes du triangle rectangle et c, celle de son hypoténuse, je vois dans cette figure qu’on a alors la célébrissime égalité

\[a^2+b^2=c^2.\]

F.G.
Je veux bien. Dites-moi, n’est-il pas vrai que si on enlève à chacun des trois carrés sa moitié, et qu’on inscrit dans chacun des rectangles résultants un demi-cercle de diamètre le côté correspondant du triangle, alors les deux demi-cercles sur les cathètes, considérés selon leur aire, sont égaux au demi-cercle sur l’hypoténuse ?

É.A.
Vraiment ?

F.G.
C’est de fait ce qu’affirme Euclide, dans un cadre plus général, à la proposition VI.31 de ses Éléments : dans un triangle rectangle, la figure construite sur l’hypoténuse est égale en aire à celles sur les deux côtés de l’angle droit, semblables et semblablement décrites.

É.A.
Attendez. Oui, oui, je vois que cela revient, algébriquement parlant, à généraliser l’égalité de Pythagore en multipliant ses deux membres, à chacune des étapes de votre processus, par une constante k bien choisie. Partant de l’égalité \(a^2+b^2=c^2,\) on la transforme de la sorte en \(k(a^2+b^2)=kc^2,\) c’est-à-dire \(ka^2+kb^2=kc^2.\)

Ainsi, reprenant votre série de figures, on passe d’abord d’un carré à sa moitié en multipliant les trois aires par le facteur 1/2 :

\[\displaystyle \frac{1}{2} a^2+ \frac{1}{2} b^2+ \frac{1}{2} c^2.\]

Facile ! Cette étape nous parle donc de certains rectangles construits sur les trois côtés du triangle. Et pour le demi-cercle… hum, chaque côté du triangle est le diamètre du demi-cercle correspondant. Si on pensait au cercle total construit sur ce diamètre, on aurait donc un facteur \(\pi/4\) qui interviendrait ici. Mais comme il s’agit d’un demi-cercle, il faut couper en deux.

Bref, la transformation de chaque carré en demi-cercle s’opère donc algébriquement par le truchement du facteur \(\pi/8,\) de sorte que l’égalité de Pythagore devient alors

\[\displaystyle \frac{\pi}{8} a^2+ \frac{\pi}{8} b^2+ \frac{\pi}{8} c^2.\]

C’est bon, je suis d’accord avec votre affirmation : en additionnant les aires des deux demi-cercles ayant pour diamètre l’un et l’autre des deux cathètes, on obtient bien l’aire du demi-cercle de diamètre l’hypoténuse !

F.G.
Parfait ! Nous arrivons maintenant à la pirouette fabuleuse ! Prenez le demi-cercle sur l’hypoténuse et faites-le pivoter autour de cet axe. Que va-t-il lui arriver ?

É.A.
(feignant l’inquiétude) Je me le demande bien. J’espère qu’il ne va pas s’épivarder !

F.G.
Point du tout ! Il va finir par tomber pile-poil sur le sommet de l’angle droit du triangle ! N’est-ce pas magnifique ?

É.A.
Vous m’en direz tant.

F.G.
Mais évidemment ! En parlant de faire pivoter le demi-cercle autour de son diamètre, c’était une façon imagée de dire : considérons le cercle ayant pour diamètre l’hypoténuse du triangle rectangle. N’est-il pas bien connu que ce cercle est circonscrit au triangle ?

É.A.
(hésitante) Hum…

F.G.
Cela est relié au fait que le point milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équidistant de ses trois sommets.

É.A.
(à nouveau hésitante) Hummm…

F.G.
Vous n’avez qu’à penser au rectangle sous-entendu dans cette dernière figure.

É.A.
Oui… le rectangle ! Oui, oui, oui, je vois !

(en aparté) Je ne vois rien du tout ! Mais je vais y repenser tout à l’heure calmement chez moi…³

F.G.
Eh bien ! alors, poursuivons. En éliminant quelques traits superflus, on se retrouve avec une jolie figure, sur laquelle repose celle que j’ai trouvée dans mon colis de ce matin. Et en y mettant un peu de couleur, on peut même faire ressortir les deux lunules sur les cathètes.

É.A.
Les deux lu… quoi ?

F.G.
Les deux lunules, les régions, en forme de croissant de lune, délimitée chacune par des arcs de cercles passant par deux points donnés.⁴ Et rappelez-vous, ma chère, que les demi-cercles sur les cathètes ont même aire que le demi-cercle sur l’hypoténuse.

É.A.
Oui, je sais, c’est ce que dit mon égalité en \(\pi/8.\) Mais attendez ! Je vois alors que si on considère une à une chacune des cinq plages composant votre dernière figure, on a que vos deux lunules, prises ensemble, ont même aire que le triangle de départ !

F.G.
Vous avez tout vu ! C’est bien cela, le beau résultat démontré par notre bon Hippocrate.⁵

Et comme Hippocrate savait que tout triangle peut facilement être transformé en un carré de même aire, il savait donc aussi comment « quarrer » les lunules en question.

É.A.
Oui, oui, je me rappelle bien la construction géométrique pour la quadrature du triangle : on passe graduellement d’un triangle quelconque à un triangle rectangle de même aire, puis à un rectangle toujours de même aire, et enfin au carré — et toutes ces étapes peuvent être exécutées à la règle et au compas !⁶

F.G.
Exactement ! Je vois que vous vous souvenez fort bien de ce processus.

Mais ce n’est pas tout. J’ai ici quelque chose d’encore plus étonnant à vous montrer. Voici une autre figure qui se trouvait aussi parmi les documents que j’ai reçus ce matin.

É.A.
Encore une lunule ! Mais celle-ci me semble un peu étrange. On voit comme une grosse lunule accrochée à ce qui me paraît être un triangle à la fois rectangle et isocèle.

F.G.
Vous avez tout à fait raison ! Il s’agit d’un autre type de lunule étudiée par Hippocrate. Et qu’y retrouve-t-on au juste ? Sans surprise, on considère d’une part, pour le grand arc supérieur, le demi-cercle ayant pour diamètre l’hypoténuse d’un tel triangle. À noter que cet arc se trouve ainsi divisé en deux petits arcs égaux, correspondant chacun à un quart du cercle total ici sous-entendu.

La bonne question maintenant est : que dire de l’autre arc, au bas de la lunule ?

É.A.
Il est plus aplati que l’autre. Mais encore…

F.G.
Vous voulez peut-être un indice ? Pensez à Euclide VI.31…

É.A.
Oh vous savez, moi, les numéros des propositions d’Euclide, ce n’est pas mon fort…

F.G.
Chère amie, je vous en parlais il y a quelques minutes : la proposition 31 du Livre VI des Éléments d’Euclide généralise le théorème de Pythagore au cas de figures « semblables et semblablement décrites » sur les trois côtés d’un triangle rectangle.

On voit bien sur la figure les deux segments circulaires⁷ identiques construits sur les deux cathètes du triangle. Que peut-on dire à propos de leur forme ?

Pour vous aider, qu’arrive-t-il si on abaisse la hauteur du triangle relative à l’hypoténuse ?

É.A.
Je vois le demi-disque, c’est-à-dire la région déterminée par le demi-cercle et l’hypoténuse, être partagé en deux parties identiques. On obtient ainsi deux secteurs circulaires⁸ égaux.

F.G.
Et c’est précisément là que réside la clé du mystère : les deux segments circulaires au haut de la figure sont un peu comme des boules de crème glacée qui débordent de cornets — j’entends par cornets la partie inférieure des secteurs circulaires, c’est-à-dire les deux moitiés du triangle de départ dont les pointes se rencontrent au milieu de l’hypoténuse.

É.A.
Je pense que je comprends ce que vous voulez dire. Il s’agit alors de trouver quel est le cornet qui aurait une boule de crème glacée de même proportion, au bas de la figure.

F.G.
En plein dans le mille ! Ou pour le dire à la Euclide, une boule de crème glacée semblable et semblablement construite, comparativement aux deux boules sur les cathètes du triangle.

De fait, en décrivant la situation de façon un peu plus précise, on se demande quel est le secteur circulaire qui correspond au segment circulaire sous la lunule. On est donc à la recherche d’un autre cercle…

Or n’oublions pas que sur la figure, chacun des deux petits arcs au haut de la lunule vaut un quart de cercle. Il s’agit donc de trouver quel est le cercle tel que l’arc au bas de la lunule en serait le quart. Auriez-vous une suggestion pour le situer, ce cercle ?

É.A.
Tout à l’heure, pour la première figure, vous parliez d’un rectangle (en aparté : que je n’ai jamais vu…). Comme le triangle rectangle est maintenant isocèle, serions-nous par hasard à la recherche d’un carré ?

F.G.
Jolie intuition ! C’est tout à fait ça ! Et le voici, le carré recherché. Il s’agit tout simplement du carré qui vient dupliquer le triangle de départ et qui a comme diagonale l’hypoténuse de ce triangle.

É.A.
Ooooh ! Et là, je vois bien le cornet dont la boule de crème glacée est délimitée par l’arc au bas de la lunule. Ou, pour reprendre un vocabulaire géométrique de bon aloi, on voit bien le secteur circulaire qui vaut donc le quart d’un certain disque. Et ce disque, ma foi, semble correspondre au cercle circonscrit au carré ayant pour côté la diagonale du carré précédent, c’est-à-dire l’hypoténuse du triangle de départ. Est-ce bien cela ?

F.G.
Voilà, tout est dit !

É.A.
Pas tout à fait en ce qui me concerne, car il me reste à algébriser cette dernière figure. Voyons voir… Il me faut donc trouver l’aire du cercle circonscrit à un carré de côté donné, puis trouver l’aire de tous les segments circulaires tout autour de ce carré, et diviser par 4, et finalement comparer avec les deux segments circulaires au haut de la lunule…

(Elle réfléchit tout en marmonnant)

F.G.
Je suis sûre que ça ne devrait pas être trop tordue comme algèbre : le cadre géométrique est tellement beau !

É.A.
Je suis d’accord, quoique les détails ne me viennent pas hic et nunc. Mais je sens en effet que ça devrait marcher.⁹

Merci pour cette balade géométrique. Allez, je vous laisse. Je rencontre cet après-midi mon club de résolution d’équations polynomiales par radicaux. Au programme aujourd’hui : rafraîchir nos souvenirs sur le 4^e degré ! Allez, venez, mes enfants !

F.G.
(un brin moqueuse) Amusez-vous bien avec vos équations ! Pour ma part, je m’en vais rejoindre mes petiots et petiotes pour explorer quelques figures dans le sable, comme le grand Archimède, tout juste avant de se faire trucider.

(Madame Équation Algébrique quitte le parc, suivie de sa ribambelle de rejetons. Rideau.)

Pour en s\(\alpha\)voir plus !

• Le thème des lunules à la Hippocrate a déjà été abordé dans Accromath, notamment dans
Jean-Paul Delahaye, « Preuves sans mots. » Accromath, vol. 3(1) (2008) pp. 14-17, et
André Ross, « Comparaison d’aires : 1. la règle et le compas. » Accromath, vol. 17(1) (2022) pp. 26-29.

• Le mot lunule provient du mot latin lunula, « petite lune, petit croissant », lui-même un diminutif du latin luna, « lune ». De nos jours, ce terme sert notamment à désigner un verre en forme de croissant délimitant le foyer inférieur des lunettes à double foyer, ou encore la partie blanchâtre demi-circulaire située à la base de l’ongle, près de sa racine. En géométrie, le mot lunule désigne une figure plane « en forme de croissant comprise entre deux arcs de cercles sécants de rayons différents » (Le Robert).

• Une riche discussion des résultats d’Hippocrate est proposée par
Bartel Leendert van der Waerden, Science Awakening, Oxford University Press, 1961, pp. 131-133.
L’auteur y explique notamment comment les résultats d’Hippocrate sont parvenus jusqu’à nous. Il fait également ressortir l’utilisation par le mathématicien grec du principe suivant : des segments circulaires semblables sont dans le même rapport que les carrés sur les bases de ces segments.

• On trouvera dans
George Pólya, Les mathématiques et le raisonnement « plausible ». Paris, Gauthier-Villars, 1958, pp. 13-15, une discussion stimulante et originale autour de l’égalité de Pythagore. L’auteur souligne comment la multiplication de cette égalité par une certaine constante — processus qu’il met en lien avec la proposition VI.31 des Éléments d’Euclide — permet un va-et-vient entre des démarches de généralisation, de particularisation et d’analogie en mathématiques.
Pólya indique également comment une telle approche peut mener à une preuve remarquablement limpide du théorème de Pythagore — voir aussi à ce propos la discussion dans
Bernard R. Hodgson, « Sommes à la sauce pythagoricienne. » Accromath, vol. 5(2) (2010) pp. 25-27.

• L’illustration représentant Archimède, lors de la prise de Syracuse en –212 par le général romain Marcus Claudius Marcellus, est tirée de la revue Le Magasin pittoresque 45 (1877), p. 301. Elle porte comme légende : « La Mort d’Archimède, peinture par Gustave Courtois. — Dessin de Henri Girardet. »
De nombreuses illustrations existent à propos d’Archimède et des circonstances de son décès. Voir par exemple, sur le site math.nyu.edu/Archimedes/ dû à Chris Rorres et consacré à Archimède, les pages Pictures of Archimedes et Death of Archimedes.

• Sur le plan géographique, notons que les îles de Chios et de Kos sont situées dans l’est de la mer Égée, près des côtes de la Turquie. Entre les deux se trouve l’île de Samos, d’où est originaire Pythagore.

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