La prof de maths de Roméo a donné à résoudre un problème qu’il trouve trop long et difficile. Il s’en plaint auprès de sa copine Juliette.
Juliette
Tu as l’air bougonneux, Roméo. Qu’est-ce qui se passe ?
Roméo
Parle-m’en pas ! C’est ma prof de maths qui nous a encore donné pour la fin de semaine un problème qui n’a pas d’allure. Regarde. (Il lui tend un papier où est inscrit le texte en encadré.)
Les casiers de l’école de la Longue-Pointe
Les casiers des 1 000 élèves sont tous situés à la queue leu leu le long d’un interminable corridor. Lorsqu’elle veut tester la bonne forme des élèves, l’enseignante d’éducation physique organise l’activité suivante :
- un premier élève part à la course en ouvrant toutes les portes des casiers;
- une deuxième élève court de deux en deux, en commençant avec le casier C2, et ferme toutes les portes qu’elle touche;
- un troisième élève — appelons-le E3 — va de trois en trois en commençant à C3, ouvrant les portes qui sont fermées et fermant celles qui sont ouvertes;
- et ainsi de suite jusqu’à l’élève E1000 , dont la tâche consiste à courir tout au bout du corridor et à changer l’état de la porte du casier C1000.
À la fin de cet athlétique processus, quelles portes sont ouvertes et lesquelles sont fermées ?
Juliette
Oh ! que ça a l’air chouette comme problème ! As-tu essayé quelque chose ?
Roméo
Pas vraiment. Je trouve l’énoncé trop mêlant. Et puis 1000 ! Ça n’a pas de bon sens !
Juliette
Mon prof de maths nous rappelle toujours : si un problème a l’air compliqué, essayez de le simplifier mais sans le dénaturer, en conservant sa « substantifique moelle », comme il dit — il aime ça nous citer du Rabelais.
1000 élèves, 1000 casiers, c’est beaucoup. Essayons pour des nombres plus petits.
Roméo
Petits nombres ? OK. J’essaie. S’il y a un élève et un casier, facile : l’élève ouvre la porte du casier et c’est fini.
Deux élèves? Hum, l’élève E1 ouvre les portes des casiers C1 et C2, puis l’élève E2 ferme la porte C2. Donc la porte C1 est ouverte et C2, fermée.
Juliette
C’est bien parti! Et avec trois élèves, E1 ouvre les trois portes C1, C2 et C3, puis E2 ferme C2 et finalement E3 ferme C3. Donc ouvert, fermé, fermé.
Roméo
Attends un peu. J’ai compris ! 2 et 3 sont des nombres premiers. La semaine dernière en classe, la prof nous a reparlé des nombres premiers. Une vraie marotte chez elle : elle revient souvent sur l’idée que c’est tellement important comme type de nombres… C’est donc ça l’affaire : elle veut qu’on pense aux nombres premiers. Et si je regarde le casier C11, sa porte va être fermée, car E1 l’ouvre, E11 la ferme, et personne d’autre n’y touche. Donc, porte fermée pour tous les nombres premiers !
Juliette
Bravo ! C’est bien parti. Mais il faudrait aussi voir quoi dire quand on a un nombre composé.
Bon, je dois y aller : j’ai un travail de français à remettre lundi sans faute. On s’en reparle plus tard. Mais essaye de faire un tableau montrant en détail ce qui se passe pour, mettons, une douzaine de casiers. Bye!
(Quelques jours plus tard.)
Roméo
Juliette ! Juliette ! Regarde : j’ai fait un tableau, comme tu me l’as suggéré. Je le trouve joli, mais je n’arrive pas à le « faire parler ».
J’ai travaillé avec 12 casiers / 12 élèves. À la ligne 1 de mon tableau, pour indiquer que l’élève E1 ouvre toutes les portes, j’ai mis des O partout. À la ligne 2, j’ai mis des F pour représenter E2 qui ferme les portes de deux en deux. Puis E3 ferme ou ouvre successivement les portes C3, C6, C9 et C12. Jusqu’à E12, qui ne fait que fermer la porte du casier C12.
Je vois ainsi, sur la diagonale du tableau, que les portes correspondant à un nombre premier sont bel et bien fermées, comme je le pensais. Mais il y en a d’autres fermées, comme C8 et C10.
Juliette
Mais c’est super ton tableau ! Il montre que ce ne sont pas les nombres premiers en soi qui sont en jeu ici, mais plutôt la notion de diviseur. La porte d’un casier change de position chaque fois qu’un élève lui touche. Et qui touche à la porte Ck ? Tous les élèves dont le numéro est un diviseur de k.
Regarde ta colonne C12 : on y voit que cette porte est touchée par six élèves : E1, E2, E3, E4, E6 et E12. Et ça donne O–F–O–F– O–F. La porte est donc fermée !
Roméo
Oui, je comprends. Mais en fait, je pense que ce qui importe, ce n’est pas tant le nombre de diviseurs, mais plutôt de savoir si le nombre de diviseurs est pair ou impair. La porte C12 est fermée, car 12 a un nombre pair de diviseurs. Mais la porte C9 a été touchée par E1, E3 et E9, un nombre impair de fois, et donc elle reste ouverte.
Juliette
La parité du nombre de diviseurs de k ! C’est donc là que réside la réponse à la question: la porte du casier Ck est-elle ouverte ou fermée? Bravo, cher Roméo ! Le mystère est enfin résolu…
Roméo
L’est-il vraiment ? C’est bien beau de savoir que les portes ouvertes sont celles dont le numéro a un nombre impair de diviseurs. Mais cela ne me dit pas quelles sont ces portes au juste.
Juliette
Mais si ! Ne te rappelles-tu pas ? On a vu ça l’année dernière. Regarde un nombre comme 12 et écris-le comme produit de deux facteurs. Ses diviseurs viennent alors deux par deux, l’un plus petit et l’autre plus grand que sa racine carrée \((\sqrt{12} \approx 3,46)\). Le nombre 12 a donc un nombre pair de diviseurs.
Mais c’est différent pour un carré parfait comme 36, car parmi ses factorisations en produit de deux nombres, il y a celle impliquant sa racine carrée, qui n’introduit de ce fait qu’un seul diviseur. Comme tout carré parfait, 36 a un nombre impair de diviseurs.
Roméo
C’est donc ça le truc : les portes ouvertes sont celles dont le numéro est un carré parfait ! En effet, c’est joli !
Mais je me demande ce qui se passerait si la rangée de casiers était en cercle — on pourrait dire qu’on s’en va à l’école du Rond-Point !
Voyons… Les élèves tourneraient tout autour du corridor circulaire. Mais il faut qu’ils arrêtent à un moment donné… OK, j’ai pigé : il faut stopper un élève au moment où il en viendrait à toucher une même porte une deuxième fois, ce qui va immanquablement arriver. Si on ne l’arrête pas, il poursuivrait ses rondes en défaisant sempiternellement ce qu’il vient tout juste de faire.
Mais, quelles seraient-elles alors, les portes ouvertes ?
Juliette
Joli changement de décor !1
Pour en s\(\alpha\)voir plus !
- Le problème des casiers de l’école (version « école de la Longue-Pointe ») est un classique de la littérature portant sur la formation mathématique des enseignants. Voir par exemple
Bell, Max S., Karen C. Fuson, et Richard A. Lesh, Algebraic and Arithmetic Structures : A Concrete Approach for Elementary School Teachers. New York: The Free Press, 1976 (p. 620). - La généralisation à la version « école du Rond-Point » a été proposée par
Cassidy, Charles, et Bernard R. Hodgson, « Because a door has to be open or closed… », The Mathematics Teacher 75 (1982) 155-158.
(Article réédité sous le titre « Because a door has to be open or closed: An intriguing problem solved by some inductive exploration. » In : Stephen I. Brown et Marion I. Walter, dir., Problem Posing: Reflections and Applications. Hillsdale, N.J. : Lawrence Erlbaum Associates, 1993, pp. 220-228.)
- Voir la Section problèmes. ↩
