Section problèmes : vol. 18.1

Montrer qu’il n’existe pas de suites de trois nombres premiers \(p, \,p + 2, \,p + 4,\) à part 3, 5, 7.
La suite 3, 7, 11 est une suite de trois nombres premiers de la forme \(p, \,p + 4, p + 8\) et la suite 5, 11, 17, 23 est une suite de quatre nombres premiers de la forme \(p, \,p + 6, \,p + 12, \,p + 18\). Montrer qu’il n’existe pas de suites de cinq nombres premiers de la forme \(p, \,p + 8, \,p + 16, \,p + 24, \,p + 32\).
Construire un carré \(3 \times 3\) dont toutes les rangées et colonnes sont des progressions arithmétiques de nombres premiers en utilisant le polynôme \(P (i, j ) = 29 + 30i + 12j\) et les valeurs \(i, j \in \{ 0, 1, 2\}\).

Calculer l’aire du triangle de Reuleaux de diamètre égal à 1.
Calculer en fonction de \(p\) l’aire d’un polygone de Reuleaux à \(p\) côtés (\(p\) impair) de diamètre égal à 1.
Calculer le diamètre de la figure construite dans l’encadré de l’article (p. 29) à partir des mesures des segments \(\overline{AB}, \overline{AC}, \overline{BC}\) et \(\overline{BD}\).
Démontrer que le contour de la figure construite dans l’encadré de l’article (p. 29) est \(\pi d\) où \(d\) est le diamètre calculé à la question précédente.