Au cours des derniers mois, les méthodes statistiques ont permis d’orienter la mise en place des mesures de santé publique. La collaboration statistique et santé publique n’a pas débuté avec la pandémie de 2020; elle remonte à John Graunt qui est né il y a 400 ans, en 1620. Cet article présente les contributions de quelques-uns de ceux qui, comme lui, ont été des précurseurs.

Première table d’espérance de vie

En espérant développer une méthode pour détecter l’apparition de la peste à Londres, John Graunt analyse les registres de mortalité de la ville publiés une fois par semaine dans la capitale anglaise.

En analysant ces données et en effectuant divers calculs, il dresse ce qui est considéré comme la première table d’espérance de vie. Le tableau ci-contre reproduit les valeurs publiées par Graunt.

On note que ce tableau repose sur une probabilité conditionnelle de sur- vie. Graunt considère que la probabilité d’être vivant à l’âge $T + 10$ ans sachant qu’il a survécu jusqu’à l’âge $T$ est constante et que cette constante est 5/8. En notant Pr la probabilité, on a :

\[\begin{array} {l c l}\text{Pr(vivre à }16|6)&=&\displaystyle \frac{5}{8} \times 64=40,\\\text{Pr(vivre à }26|16)&=&\displaystyle \frac{5}{8} \times 40=25, \\\text{Pr(vivre à }36|26)&=&\displaystyle \frac{5}{8} \times 25 \\ &=&15,625 \approx 16, \end{array} \\ …\]

Graunt exprime ses résultats en pourcentage, arrondis à l’entier, en expliquant que :

« …les gens ne meurent pas selon des proportions exactes ni en fractions. »

Graunt a aussi produit la première estimation de la population d’une ville sur des bases statistiques. Il a ainsi posé les fondements de la démographie et de l’utilisation de la statistique à des fins sociales.

Ses travaux et réflexions ont été publiés sous le titre Natural and Political Observations on Bills of Mortality (Observations naturelles et politiques des bulletins de mortalité). Graunt a consacré plusieurs années de sa vie à dresser de véritables statistiques de sa ville natale au sens moderne du terme. Son étude de la population londonienne du XVII^e siècle portait sur la mortalité, la fécondité, les mariages et la migration. Il fit aussi des observations d’ordre épidémiologique et économique. L’approche de Graunt visait entre autres l’élaboration de politiques sociales par les autorités.

Son ouvrage fut réédité cinq fois, de 1662 à 1676. Graunt reste l’un des premiers experts en épidémiologie, dans la mesure où son essai était principalement consacré aux statistiques de santé publique.

Halley, statistiques de Breslau

Edmond Halley considérait que le calcul de l’espérance de vie effectué par Graunt à partir des chroniques nécrologiques de la ville de Londres était entachée d’un biais important à cause de la grande fluctuation de la population londonnienne. La cité était en pleine croissance et le nombre de gens qui partaient des campagnes pour immigrer à Londres pouvait fausser les conclusions de l’analyse, puisque la natalité n’était pas la seule cause de la croissance de la population.

Halley se mit à la recherche d’une ville où la population était relativement stable, dont la variation était due simplement aux taux de natalité et de mortalité. Il fallait de plus que les certificats de naissance et de décès soient émis et conservés pour tous les citoyens. La ville de Breslau (aujourd’hui Wroclaw) en Pologne répondait aux exigences de Halley. Les certificats de décès étaient compilés mensuellement et comportaient plusieurs détails comme l’heure et la date du décès. Ces données, fournies par Caspar Neumann¹, n’avaient jamais été soumises à une analyse statistique et l’information contenue dans ces dossiers était complète pour une période de cinq années consécutives.

Le tableau ci-contre donne la compilation en fonction de l’âge du nombre de personnes vivantes lors de cette étude. Voici quelques-unes des observations de Halley.

1. Le nombre de naissances à Breslau était en moyenne de 1 238 naissances par année et le taux de mortalité de 1 174 décès par année. Parmi ces 1 238 naissances, il y avait 238 décès dès la première année.
2. Sur les 1238 naissances annuelles, à peine 692 enfants atteignaient l’âge de sept ans, soit un taux de mortalité infantile d’environ 44 %.
3. Le nombre de décès pouvait être établi pour chaque groupe d’âge. Ainsi, entre 9 et 25 ans, le taux de mortalité est d’environ 1 % par année.
4. Halley a également montré comment calculer la probabilité qu’un individu d’un âge donné vive une année de plus ou jusqu’à un âge quelconque. Il prit l’exemple d’un homme de 40 ans. Il y a dans ses relevés 445 individus de 40 ans et il ne reste que 377 individus de 47 ans. Il considère alors que la probabilité qu’une personne de 40 ans vive jusqu’à 47 ans est :
   \[\frac{377}{445}=0,847\,191 \ldots=84,7 \%. \]
   Halley se demande également: si on considère un individu d’un âge donné, à quel âge ses chances d’être encore vivant sont-elles de 50 % ? Par exemple, si on considère dans sa table un individu de 25 ans, il y en a 567 et parmi ceux-ci, 282 atteindront l’âge de 57 ans. La probabilité qu’un individu de 25 ans atteigne l’âge de 57 ans est donc de 50 %.
5. Halley constate de plus que sur les 1 238 naissances, il reste 616 personnes vivantes à l’âge de 17 ans. La moitié des personnes décèdent donc avant d’avoir 17 ans.

Les analyses de Graunt et de Halley ont permis de mettre en évidence de l’information cachée dans l’ensemble des données. C’est le rôle du statisticien de recueillir des données et de mettre en évidence l’information qui s’y cache. Ces études sur les taux de mortalité ont été approfondies par les compagnies d’assurance-vie qui ont commencé à se former à la fin du XVII^e siècle.

Bernoulli et l’inoculation

En avril 1760, l’Académie Royale des Sciences de Paris présente en lecture publique Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole², et des avantages de l’inoculation pour la prévenir de Daniel Bernoulli. À cette époque, la variole fait des ravages en Europe. Dans l’empire ottoman, on pratique déjà l’inoculation qui consiste à infecter une personne avec une forme atténuée de la maladie. La femme de l’ambassadeur de Grande-Bretagne à Constantinople (aujourd’hui Istanbul) rapporte cette pratique en Angleterre où les résultats sont mitigés à cause entre autres d’un protocole d’inoculation différent de celui utilisé en Turquie. Le débat sur la pertinence de l’inoculation fait rage.

Daniel Bernoulli a alors l’idée de consulter les données compilées par Halley pour la ville de Breslau et d’en filtrer l’information cachée concernant la variole. Il étudie ces données et cherche à en extraire une estimation quantitative des avantages et désavantages de l’inoculation antivariolique. Il note $\xi(x)$ le nombre de survivants au temps $x$ et sachant que $\chi_i(1) = 1000,$ par interpolation, détermine $\xi (0) = 1\,300.$ Il considère que la population peut être scindée en deux groupes. Ceux qui sont « immunisés » car ils ont déjà été affectés par la maladie et ceux qui n’ont pas eu la maladie et qui sont donc « susceptibles » d’être infectés. Il connaît les estimations, pour l’époque :

• le taux d’attaques de la variole par année et par susceptible, $\beta = 1/n \approx 1/8,$
• la proportion de personnes contaminées qui décèdent de la variole, $\nu = 1/m \approx 1/8,$
• la proportion de personnes qui soit $1/N \approx 1/200.$³

En notant $\mu$ la proportion de personnes décédées d’autres causes que la variole, son modèle est le suivant.

À l’aide de cette information, il répartit les survivants de chacune des années en deux sous-groupes, les susceptibles et les immunisés. Il calcule alors le nombre de personnes infectées durant l’année en prenant la moyenne des susceptibles de l’année courante et de l’année précédente multipliée par le taux d’attaques de la variole. On peut lire le résultat de cette répartition de 0 à 24 ans dans le tableau ci-dessous.

Daniel Bernoulli calcule qu’en inoculant toute la population, l’espérance de vie passerait de 26 ans et 7 mois à 29 ans et 7 mois, soit un gain moyen de trois ans. Ce n’est pas le seul avantage de l’inoculation, comme on le constate sur le graphique ci-dessous: il y a une augmentation de l’âge médian de la population d’environ 14 ans, soit d’environ 11,25 à 25,5 années.

PDF