Au congrès annuel des myopes, un jeu est organisé avec 11 des congressistes. Après que ceux-ci ont convenu de la stratégie qu’ils allaient utiliser, l’arbitre dispose les joueurs en cercle et pose un chapeau noir ou rouge sur leur tête :
– Le myope 1 voit le chapeau du myope 11 et lui seulement;
– Le myope 2 voit le chapeau du myope 1 et lui seulement;
– …
– Le myope 11 voit le chapeau du myope 10 et lui seulement.
Simultanément, les 11 myopes indique la couleur du chapeau qu’il pense porter et les 11 joueurs gagnent l’accès gratuit au congrès suivant si l’un d’eux, au moins, donne la bonne réponse.
En répondant au hasard, ils ont peu de chance de perdre, mais l’arbitre a pu les espionner pendant qu’ils parlaient avant l’épreuve et il est possible qu’il exploite ce qu’il a entendu pour les faire perdre. Pourtant, même dans un tel cas, les 11 joueurs sont certains de gagner. Quelle stratégie ont-ils convenu qui assure à 100 % que l’un d’eux (au moins) proposera la bonne couleur pour le chapeau qu’il porte ?
Un second problème est posé :
– Prouver que si l’un des myopes est en réalité un aveugle alors, cette fois, aucune stratégie convenue à l’avance ne peut fonctionner dans 100 % des cas.
Solution
Une stratégie gagnante à tous coups pour l’équipe de myopes est la suivante. Le premier myope (ou l’un des myopes choisi une fois pour toutes) indique la couleur qu’il voit devant lui. Les autres indiquent la couleur inverse de celle qu’ils voient devant eux. De deux choses l’une :
a) Tous les chapeaux ont la même couleur. Dans ce cas, le premier myope a deviné la couleur de son chapeau.
b) Les couleurs ne sont pas toutes identiques. Dans ce cas, il existe au moins deux myopes qui ont devant eux un chapeau différent du leur, l’un au moins n’est pas le premier myope et donc devine la couleur de son chapeau.
Le raisonnement pour le second problème consiste à créer une distribution de chapeaux qui fasse perdre tous les joueurs en commençant par l’aveugle. Il est un trop compliqué pour l’espace de
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