On choisit cinq nombres a, b, c, d et e vérifiant les relations:
\[1 ≤ a < b < c < d < e ≤ 10.\]
Autrement dit: les cinq nombres sont compris entre 1 et 10, tous différents et classés par ordre croissant. On indique leur produit P à Patricia (qui est brune), leur somme S à Sylvie (qui est blonde), la somme de leurs carrés
\[C=a^2 +b^2 +c^2+d^2 +e^2 \]
à Christian (qui est barbu) et la valeur
\[V = (a + b + c)(d + e)\]
à Vincent (qui est chauve).
Ils doivent deviner quels sont les nombres a, b, c, d et e.
1. Une heure après qu’on leur a posé le problème, les quatre personnages qu’on interroge simultanément répondent tous ensemble:
« je ne connais pas les nombres a, b, c, d et e ».
2. Une heure après, les quatre personnages qu’on interroge à nouveau répondent encore tous ensemble:
« je ne connais pas les nombres a, b, c, d et e ».
3. Une heure après, les quatre personnages qu’on interroge à nouveau répondent encore tous ensemble:
« je ne connais pas les nombres a, b, c, d et e ». Etc.
23. Une heure après (soit 23 heures après la formulation de l’énoncé!), les quatre personnages qu’on interroge à nouveau répondent encore tous ensemble: « je ne connais pas les nombres a, b, c, d et e ».
Cependant, après cette 23ème réponse, les visages des quatre personnages s’éclairent d’un large sourire et tous s’exclament: « c’est bon, maintenant, je connais a, b, c, d et e ».
Solution
Voici le raisonnement qui donne la solution que nous présentons sans recopier tous les détails des calculs car cela occuperait quatre pages.
Il y a 252 quintuplets (a, b, c, d, e) possibles. Certains d’entre eux donnent une somme S qui permettrait de retrouver (a, b, c, d, e). C’est le cas, par exemple, si S = 15 car 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 est la plus petite somme possible et oblige donc à avoir a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 et e = 5. Le fait que Sylvie ait indiqué, au point 1, qu’elle ignorait (a, b, c, d, e) signifie que le quintuplet (1, 2, 3, 4, 5) n’est pas le bon. C’est vrai pour d’autres sommes. De même, certains produits ne peuvent être obtenus qu’une fois et doivent être éliminés après l’étape 1. De même, encore, pour C et V. Un long calcul à la main, ou en utilisant un ordinateur, montre que l’élimination de ces quintuplets fait passer les 252 possibilités initiales à 140. Les quatre personnages mènent ce raisonnement d’élimination pendant l’heure qui suit l’énoncé du problème. À partir de ces 140 possibilités pour (a, b, c, d, e) chaque personnage peut donc à nouveau raisonner comme précédemment. Si Sylvie indique qu’elle ne peut pas trouver (a, b, c, d, e)lors de l’étape 2, c’est que les S n’apparaissant qu’une fois dans la liste des 140 possibilités peuvent être éliminées. De même pour les P, C et V. On arrive alors à 100 quintuplets possibles.
La réduction des solutions donne, petit à petit, des quintuplets candidats de moins en moins nombreux: on en obtient successivement 85, 73, 64, 62, 60, 57, 54, 50, 47, 44, 40, 36, 33, 31, 28, 24, 19, 13, 8, 4. La prise en compte de l’étape 23 conduit à une solution unique. À cet instant, tout le monde – et en particulier vous – sait que: S = 28, P = 3360, C = 178, V = 195 et donc que:
\[a = 2, b = 5, c = 6, d = 7, e = 8.\]
