Section problèmes : volume 14.2
Algorithmes dans l’histoire
- Déterminer les PGCD des couples :
a) 924, 3135
b) 83, 337
c) 2530, 9639
L’héritage de Fermat
- Appliquer la méthode de Fermat pour factoriser les nombres suivants :
a) 493
b) 1247
c) 6 903
- Supposons qu’un entier n est le produit de deux nombres premiers \(p < q\) et que \(q – p < 2 \sqrt{2p}.\) Montrer qu’en utilisant la méthode de Fermat, ce nombre n peut être factorisé en seulement une étape.
Émergence logarithmique
- Soit la suite arithmétique \((a + nd )_{n \in \mathbb{N}}.\)
a) Montrer que chaque terme (à l’exception du premier) est la moyenne arithmétique de ses deux voisins.
b) Montrer un résultat analogue pour la suite géométrique \((ar^n )_{n \in \mathbb{N}}.\)
- Montrer qu’en termes modernes, le passage de L’Arénaire ci-contre porte sur les notions de suites arithmétique et géométrique, et sur la règle du produit de deux puissances.
Tuyau : Des nombres « continûment en proportion à partir de l’unité » forment une suite géométrique dont le premier terme est 1.
- En comparant les deux tables tirées de la tablette MLC 02078 (pp. 19 et 20), on y voit la suite géométrique,
\[2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64\]
être associée à deux suites arithmétiques l’une à l’autre. Relier directement ces deux suites arithmétiques.
Tuyau : On peut y voir du logarithme.
Soit deux points \(P_1\) et \(P_2\) sur un segment AB (voir figure). Montrer que :
a) si \(\displaystyle \frac{AP_1}{AB} = \frac{P_1P_2}{AB}\), alors \(\displaystyle\frac{P_1B}{AB} = \frac{P_2B}{P_1B}\);
b) la réciproque est elle aussi valide.- La suite de segments \(AB, P_1B, P_2B, P_3B,\ldots\) forme une progression géométrique décroissante (p. 22). On désigne par r le rapport de cette suite géométrique (on a donc \(r < 1\)) et par z la longueur du segment AB.
a) Interpréter en termes de z et de r les segments \(AB, P_1B, P_2B, P_3B, \ldots\)
b) Exprimer à l’aide de z et de r les longueurs des intervalles \(AP_1,P_1P_2, P_2P_3, P_3P_4 \ldots\)
c) Appliquer ces résultats aux valeurs numériques choisies par Napier (voir p. 23).
d) Et que dire dans ce contexte de la suite arithmétique déterminée par le mouvement du point Q (p. 22)?
a) Expliquer l’observation dans l’encadré ci-contre, au cœur de la démarche de Napier.
b) En conclure que pour Napier, la vitesse de P en un point donné est égale à sa distance de l’extrémité B.
Tuyau : La constante de proportionnalité de la partie a) est 1.- On veut interpréter ici le modèle géométrico-cinématique de Napier à l’aide du calcul différentiel et intégral (moderne). On appelle x(t) la distance séparant P de l’extrémité B au temps t, et y(t) la position du point Q au temps t.
a) Montrer que le déplacement de Q est décrit par l’équation différentielle \(dy/dt = 10^7\), avec comme condition initiale y(0) = 0.
Tuyau : La vitesse est la dérivée de la distance parcourue par rapport au temps.
b) Montrer de même que le déplacement de P est décrit par dx/dt = –x, avec \(x(0) = 10^7.\)
c) Résoudre ces deux équations différentielles.
d) Montrer comment on pourrait en tirer une notion de « base » pour les logarithmes de Napier.
