Sphères de Dandelin

  1. Sous quelle condition l’intersection d’un cylindre avec un plan est-elle une conique? Montrer que cette conique est une ellipse.
    6.2.sol_img1
  2. Montrer que, si la pente du plan est supérieure à la pente du cône, l’intersection entre les deux est une hyperbole.
    6.2.prob_img5

Mathématiques de la tasse de thé

  1. En considérant l’illustration suivante, montrer que la cardioïde est décrite par l’équation paramétrique :
    \begin{align*}
    x(\theta) &= r (2\cos\theta – \cos 2\theta) \\
    y(\theta) &= r (2\sin\theta – \sin 2\theta).
    \end{align*}
    6.2.prob_img3
  2. En considérant l’illustration suivante, montrer que la néphroïde est décrite par l’équation paramétrique :
    \begin{align*}
    x(\theta) &= r (3\cos\theta – \cos 3\theta) \\
    y(\theta) &= r (3\sin\theta – \sin 3\theta).
    \end{align*}
    6.2.prob_img4
  3. Montrer que l’épicycloïde dont le rapport du rayon du cercle de base sur le cercle roulant est \(q = R/r\) est décrite par l’équation paramétrique :
    \begin{align*}
    x(\theta) &= r \left[ (q+1)\cos\theta – \cos \left( (q+1) \theta) \right) \right] \\
    y(\theta) &= r \left[ (q+1)\sin\theta – \sin \left( (q+1) \theta) \right) \right]
    \end{align*}
    À quelle condition le cercle roulant revient-il exactement à sa position initiale?

Solutions

PDF