Section problèmes : Vol. 6, été-automne 2011

Sous quelle condition l’intersection d’un cylindre avec un plan est-elle une conique? Montrer que cette conique est une ellipse.
Montrer que, si la pente du plan est supérieure à la pente du cône, l’intersection entre les deux est une hyperbole.

En considérant l’illustration suivante, montrer que la cardioïde est décrite par l’équation paramétrique :
\begin{align*}
x(\theta) &= r (2\cos\theta – \cos 2\theta) \\
y(\theta) &= r (2\sin\theta – \sin 2\theta).
\end{align*}
En considérant l’illustration suivante, montrer que la néphroïde est décrite par l’équation paramétrique :
\begin{align*}
x(\theta) &= r (3\cos\theta – \cos 3\theta) \\
y(\theta) &= r (3\sin\theta – \sin 3\theta).
\end{align*}
Montrer que l’épicycloïde dont le rapport du rayon du cercle de base sur le cercle roulant est \(q = R/r\) est décrite par l’équation paramétrique :
\begin{align*}
x(\theta) &= r \left[ (q+1)\cos\theta – \cos \left( (q+1) \theta) \right) \right] \\
y(\theta) &= r \left[ (q+1)\sin\theta – \sin \left( (q+1) \theta) \right) \right]
\end{align*}
À quelle condition le cercle roulant revient-il exactement à sa position initiale?

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