Cartographie (collégial)
Soit une sphère de rayon \(1\) centré à l’origine d’un système \(XYZ\) et le plan d’équation \(z=-1\) tangent au pôle sud de la sphère.
- Montrer que la projection stéréographique du point \(P\) de coordonnées \((x,y,z)\) sur la sphère est le point \(P’\) de coordonnées \((x’,y’)\) du plan, où
\[x’=\frac{2x}{1-z} \quad \text{et} \quad y’=\frac{2y}{1-z}.\] - Soit \(\theta\) la longitude de \(P\) et \(\phi\) sa latitude.Montrer que les coordonnées polaires de \(P’\) sont :
\[r=\frac{2\cos\phi}{1-\sin\phi} \quad \text{et} \quad \theta.\] - Montrer que la fonction de Mercator qui à \(P\) sur la sphère le point \(P »=(X,Y)\) avec :
\[X=\theta \quad \text{et} \quad Y=\ln\left(\tan\left(\frac{1}{2}\left(\phi+\frac{\pi}{2}\right)\right)\right)\]
est bien donnée par la composée \(P\mapsto P’\mapsto P »,\) avec \(P\mapsto P’\) la projection stéréographique et \(P’\mapsto P »\) la fonction :
\[P »=\left(\theta, \ln\left(\frac{r}{2}\right)\right)\]
où \(r\) et \(\theta\) sont les coordonnées polaires de \(P’.\)
Empilements (secondaire)
Dans l’article Savez-vous empiler des oranges?, nous avons présenté la notion de densité d’un empilement en dimension 3. On peut appliquer la même notion à des empilements en dimension 2. Calculer la densité des empilements en dimension 2 suivants :
L’article donnait le calcul de la densité d’un empilement formant un réseau cubique simple en dimension 3. En procédant de façon analogue, calculer la densité d’un réseau cubique centré et celle d’un réseau cubique à faces centrées.
Récurrence (collégial)
Considérant les représentations suivantes
montrer que pour tout nombre naturel \(n,\) on a :
\[1+4+7+10+\dotsb+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}\]
Preuves sans mots (secondaire)
Quel cheminement mental et quelle conclusion vous suggèrent les illustrations suivantes :
- Ces preuves sans mots sont-elles entièrement satisfaisantes? Commentez.
