GPS
Fonctionnement du sextant
Il faut montrer que :
\[ \angle AOC = 2 \angle BPC, \]
On constate facilement que :
\[ \angle ACO = \angle SCD = \alpha, \]
puisque ce sont des angles opposés par le sommet. De plus, lorsqu’un rayon lumineux est réfléchi par un miroir, l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion. On a donc
\[\angle SCD = \angle ACB=\alpha, \quad \text{et} \quad \angle EBC=\angle PBA=\beta.\]
La somme des angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite est égale à \(\pi.\) On a donc :
\[ \gamma=\pi-2\beta .\]
Puisque la somme des angles d’un triangle est égale à \(\pi,\) on peut écrire, à partir du triangle \(PBC\) :
\begin{align*}
\angle BPC &= \pi – \alpha – \beta – \gamma \\
&= \pi – \alpha -\beta – (\pi-2\beta) \\
&= \beta – \alpha.
\end{align*}
De plus, à partir du triangle \(BOC,\) on a :
\begin{align*}
\angle AOC &= \pi – 2\alpha – \gamma \\
&= \pi – 2\alpha – (\pi – 2\beta) \\
&= 2(\beta-\alpha) = 2\angle BPC.
\end{align*}
Positionnement par angles de visée
Il faut d’abord tracer deux droites parallèles \(d_1\) et \(d_2,\) l’une passant par l’arbre et l’autre par le rocher. On trace ensuite une droite passant par l’arbre et formant un angle de 21° avec \(d_1.\) Puis, une droite passant par le rocher et formant un angle de 21° avec \(d_2\) On trace ensuite 2 le cercle passant par le point de rencontre de ces deux droites, par l’arbre et par le premier rocher.
Sur la première figure, les deux parallèles ont été tracées parallèlement aux côtés de la carte, mais cela n’a pas d’importance, on aurait pu choisir une direction quelconque.
Traçons maintenant des droites \(d_3\) et \(d_4\) parallèles entre elles et passant l’une par le premier rocher et l’autre par le second. On peut en procédant comme précédemment, tracer un deuxième cercle, dont tous les points constituent le sommet d’un angle inscrit de 100° passant par les deux rochers. Le point de rencontre des deux cercles est l’emplacement du trésor.
On a découvert un trésor géométrique. Il suffit de trois points connus pour définir une position par des angles de visée. C’est exactement ce que fait le randonneur disposant d’une boussole lorsqu’il veut déterminer sa position sur une carte. Il détermine, de sa position, la direction de trois repères apparaissant sur la carte et il reporte ces observations sur la carte pour obtenir trois segments de droites dont le point de rencontre est sa position.
Racines
Calcul de la moyenne
Racine carrée de 2
En prenant 4/3 comme première approximation, la base du rectangle est 3/2. La moyenne de ces deux nombres est 17/12. Les dimensions du rectangle sont alors 17/12 et 24/17. La moyenne de ces nombres est 577/408. Les dimensions du rectangle sont alors 577/408 et 816/577. La moyenne de ces nombres est 665 857/470 832. En utilisant la calculatrice pour exprimer en décimal, on obtient 1,414213562 qui est la racine carrée de 2 à huit décimales. En réalité, la fraction 665857/470832 = 1,4142135623746… et est exacte à la treizième décimale.
Racine cubique de 32
On peut considérer \(3\) comme première approximation puisque \(3^3 = 27.\) On a alors :
\[3^2 x=32 \quad \text{et} \quad x=32/9 \]
La moyenne pondérée donne :
\[ \frac{2}{3}\times3+\frac{1}{3}\times\frac{32}{9}=\frac{86}{27}.\]
En procédant à nouveau, on obtient :
\begin{equation*} x \left( \frac{86}{27}\right)^2=32, \quad \text{d’où} \quad x=\frac{32\times27^2}{86^2}. \end{equation*}
La moyenne pondérée donne :
\[ \frac{2}{3}\times\frac{86}{27}+\frac{1}{3}\times\frac{32\times27^2}{86^2}=\frac{475\, 492}{149\, 769}.\]
Cette valeur comporte 4 décimales exactes.
Extraction dans un carré
Racine carrée de 21
Considérons \(5\) comme première approximation. On a alors :
\[ 21=25-10d+d^2 \]
En négligeant \(d^2,\) on obtient :
\begin{equation*} 10d = 4, \quad \text{d’où} \quad d = 2/5.\end{equation*}
Cela donne
\displaystyle \sqrt{21} \approx 5-\frac{2}{5}=\frac{23}{5}.
On a alors :
\[ 21=\left(\frac{23}{5}\right)^2-\frac{46}{5}d+d^2\]
En négligeant \(d^2,\) on obtient \(d=2/115\) et :
\displaystyle \sqrt{21} \approx \frac{23}{5}-\frac{2}{115}=\frac{527}{115}.
On a alors :
\[ 21=\left(\frac{527}{115}\right)^2-2\times\frac{527}{115}d+d^2.\]
En négligeant \(d^2,\) on obtient \(d=2/60605\) et :
\displaystyle \sqrt{21} \approx \frac{527}{115}-\frac{2}{60605}=\frac{277727}{60605}.
Cette fraction donne \(4{,}58257569507466\) et la calculatrice donne \(4{,}582575695\) comme approximation de la racine carrée de 21.
Racine carrée de 75, méthode mésopotamienne
Considérons \(a = 9\) comme première approximation. La « formule mésopotamienne » donne alors :
\[ \frac{(9)^2+75}{2\times 9}=\frac{26}{3}.\]
En appliquant à nouveau, on obtient :
\[ \frac{(26/3)^2+75}{2\times (26/3)}=\frac{1351}{156}.\]
Cette fraction donne \(8{,}66025641\) et la calculatrice, \(8{,}660254038\) comme approximation de la racine carrée de 75.
Codes
Contrôle du clonage humain
Il n’y a que dix chiffres-clés possibles, un pour l’original et au maximum 9 pour les clones.
C’est un clone espion, le chiffre-clé qui rend le code valide est 8.
