Le théorème des trois couleurs

Montrer que les arêtes du graphe ci-contre peuvent être coloriées avec trois couleurs de telle sorte que les arêtes attachées à chaque sommet soient de couleurs différentes.

Émergence logarithmique

1. Une jalousie peut aider à trouver le produit de deux « gros » nombres.a) Évaluer le produit
   \[99988777665 \times 9876543\]
   en considérant que les nombres sont représentés en base mille.
   (Tuyau : Il s’agit donc du produit d’un nombre « à quatre chiffres » par un nombre « à trois chiffres ».)b) Reprendre le calcul en travaillant en base dix mille.
2. Un entier $m \geq 2$ étant fixé (le module), deux entiers $a$ et $b$ sont dits congrus modulo m si les restes obtenus en les divisant par m sont égaux.a) Après avoir montré qu’un entier n est congru, modulo 9, à la somme de ses chiffres, justifier la preuve par neuf donnée (p. 2) pour le produit 934 × 314.Que dire de la présence de faux positifs dans une preuve par neuf?b) Montrer plus généralement qu’un entier, lorsqu’exprimé en base b, est congru à la somme de ses chiffres, modulo b – 1.
   Donner une « preuve par neuf cent quatre-vingt-dix-neuf » du calcul effectué à la question 1-a.
3. Étant donné un entier positif $n$, le $n^e$ nombre triangulaire est
   \[T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n.\]On montre facilement (n’est-ce pas ?) que\[T_n = \frac{n(n+1)}{2} \text{et} \; T_n + T_{n+1} = (n+1)^2.\]Voici deux méthodes pour trouver un produit à l’aide d’une table de nombres triangulaires.a) Étant donné deux entiers positifs $a$ et $b$, exprimer chacun des carrés $(a+b)^2$, $a^2$ et $b^2$ comme une somme de deux nombres triangulaires. En tirer une méthode pour évaluer le produit $ab$ à l’aide d’une table de nombres triangulaires.b) Travailler à partir de l’égalité\[ab=T_{a+b} -T_a – T_b\](que vous vérifierez).
4. Les deux expressions (p. 3) d’un produit $ab$ en termes de la différence de deux carrés sont d’origine fort ancienne.a) Interpréter la preuve visuelle résultant de la figure de la p. 3.b) Relier ces expressions à la proposition 5 du Livre II des Éléments d’Euclide (voir ci-contre), où il est question d’un problème d’aires.
5. On s’intéresse au produit de deux entiers de parité différente, par exemple $9876 \times 543$. Montrer, par un calcul à la Ludolf (voir p. 3), comment obtenir ce produit à partir d’une table de carrés. Faire le lien avec la méthode des quarts de carrés.
6. À propos de la construction d’une table de quarts de carrés (voir encadré p. 4), montrer que\[n^2 = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1).\]
7. a) Multiplier 6,21 et 0,257 par prosthaphérèse (voir p. 6).b) Refaire le calcul en vous appuyant sur l’identité trigonométrique\[2\cos \alpha \cos \beta = \cos (\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta).\]c) Que dire d’une division par prosthaphérèse?
8. Établir les identités logarithmiques de l’encadré ci-contre.
9. Effectuer les calculs suivants à l’aide d’une table de logarithmes décimaux¹. (Au besoin, procéder par interpolation linéaire à partir des valeurs de la table.)
   a) \[\frac{3480 \times 1265}{0,00143}\]
   b) \[\log 0,04786\]
   c) \[\frac{32,64}{757,2}\]
   d) \[\sqrt[5]{0,234}\]

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