La Terre est ronde. Quoi qu’on puisse en dire, cette déclaration n’est pas discutable. Pourtant, pour les habitants de la planète bleue dans le jeu vidéo à succès Final Fantasy IV, cette affirmation n’a rien d’une certitude.
Voyons voir comment une branche récente des mathématiques peut nous aider à déterminer la forme du monde de Final Fantasy IV. Regardons comment la topologie peut identifier des propriétés émergeant des choix de design du jeu. Et voyons voir comment tout cela peut se faire en utilisant seulement le comportement des avions sur leur mappemonde respective.
Pour bien comprendre comment reconstruire le monde de Final Fantasy IV, nous commencerons par construire notre monde à partir d’une carte et du comportement d’un avion sur ses bords. Commençons par nous entendre sur le vocabulaire utilisé.
Notre globe
Les images, Notre carte et Notre globe sont des représentations en 2 et 3 dimensions de notre planète. Les lignes horizontales sont appelées les parallèles puisqu’elles ne se touchent jamais. Les lignes verticales se nomment les méridiens. On notera que sur la carte, elles semblent ne jamais se rencontrer alors que sur le globe elles convergent toutes au pôle Nord et au pôle Sud. La position d’un point peut se donner en précisant sur quel parallèle et sur quel méridien il se trouve. Ces coordonnées sont respectivement la latitude, qui va de –90° au pôle Sud à 90° au pôle Nord, et la longitude, qui va de –180° au bord gauche de la carte à 180° au bord droit. Ainsi, plus la latitude augmente en valeur absolue, plus le point est loin de l’équateur, l’hémisphère sud correspondant aux points de latitude négative. Plus la longitude augmente, plus le point est à l’est.
Notre carte
Remarquons aussi que pour « aplanir » le globe, nous avons dû, entre autres, couper sa surface en plein milieu du Pacifique. Cela a créé de fausses bordures qui ne sont évidemment pas présentes sur le globe. Nous reviendrons sur ces faits plus tard.
À ce point, il est intéressant de se demander si l’on pourrait reconstruire le globe à partir seulement de la carte. Sans information supplémentaire, la réponse est non. En se limitant aux informations sur la carte, il n’est pas possible de dire si le monde se termine aux bords ou, sinon, comment et où recoller la carte.
Pour nous aider, nous supposerons que nous contrôlons un unique avion dont nous connaissons la position exacte sur la carte. Cette hypothèse est cohérente avec l’information accessible au joueur dans Final Fantasy IV : une carte et un avion.
Faisons quelques tests et reproduisons les résultats sur la figure Trajectoires d’avion. En vérifiant le comportement sur les bords de droite et de gauche, on verrait qu’un avion qui sort à droite entre aussitôt à gauche à la même latitude. Il en va de même pour un avion qui sort à gauche. Cela est suffisant que pour nous comprenions que le bord de gauche doit être recollé sur le bord de droite.
Trajectoires d’avion
Les avions qui traversent le bord supérieur le long d’un trait pointillé en ressortent le long du trait plein de même couleur.
Le comportement en haut et en bas de la carte est moins intuitif. Où se retrouve un avion qui fonce plein nord et qui traverse le bord supérieur de la carte ?
Heureusement, en tant que scientifiques, nous savons que cet avion ne tombera pas en bas de la planète. Mais où va- t-il se retrouver? En observant la carte et la position de l’avion, nous le verrions réapparaître toujours sur le bord du haut de la carte fonçant plein sud. Si le contact avec le bord du haut s’est fait à la longitude $\ell$, l’avion sortira du bord du haut à la longitude $\ell + 180°.$1 L’illustration ci-dessous montre les trajectoires d’avions ayant traversé le bord du haut.
La seule conclusion sensée que l’on peut tirer est que le bord du haut est en fait
un unique point. Nous pouvons le nommer le pôle Nord. La réflexion est la même pour le bord inférieur que nous comprenons n’être qu’un seul point : le pôle Sud.
Il est maintenant possible de recréer notre monde à partir de la carte. L’encadré ci-dessous illustre le processus. Dans un premier temps, on réduit le bord supérieur à un seul point, le pôle Nord. On fait de même avec le bord inférieur pour obtenir le pôle Sud. On courbe ensuite la carte pour recoller les bords de gauche et de droite. L’objet obtenu correspond bien, après un peu de façonnage, à la surface de la Terre.
Dans l’encadré Collage rigoureux, l’espace quotient, vous pouvez voir comment l’on exprime ce recollement en langage mathématique.
Collage rigoureux, l’espace quotient
La carte est définie comme le rectangle $C$ :
\[\begin{array}{r c l}C &=& [–180; 180] \times [–90; 90] \\ &=&\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x \in[–180; 180], y \in[-90, 90]\}.\end{array} \]
Sous cette forme elle ne représente pas notre monde puisque des points qui y sont distincts sont en fait le même point dans la réalité. Les points de notre monde sont les classes d’équivalence de points de la carte pour la relation d’équivalence que nous définissons ci-dessous. Nous écrirons que $(x_1,y_1)∼(x_2, y_2)$ si ces points sont dans la même classe d’équivalence.
L’étude du comportement d’un avion sur les bords nous a permis d’identifier les classes d’équivalences suivantes :
Tous les points du bord du haut sont équivalents
\[(x_1, 90)∼(x_2, 90). \]
Tous les points du bord du bas sont équivalents
\[(x_1, –90)∼(x_2, –90).\]
Chaque point restant du bord droit est dans la même classe d’équivalence que le point de même latitude sur le bord gauche.
\[(–180, y)∼(180, y) \text{ si }–90 < y < 90\]
Les autres points de la carte sont seuls dans leur classe d’équivalence.
Par abus de notation, nous représentons toutes ces classes par le simple symbole « ∼ ».
L’ensemble de toutes les classes d’équivalence est appelé l’espace quotient: chaque point de l’espace quotient est une classe d’équivalence. On note cet espace quotient
« C/∼ ». Nous avons déjà compris que l’espace quotient obtenu ici représente la sphère. En notant la sphère par $S^2,$ la notation correcte pour résumer ce que l’on vient de dire est
\[C/∼ \, \simeq S^2,\]
où le symbole « $\simeq$ » remplace « = » pour préciser que nous nous sommes permis de déformer l’espace obtenu pour le faire correspondre à la sphère. Mais nous avons déformé sans couper, ce que l’on se permet en topologie.
La mappemonde de Final Fantasy IV
Nous sommes maintenant suffisamment bien équipés pour reconstruire le monde de Final Fantasy à partir de sa mappemonde et du comportement de l’avion que le jeu nous permet de contrôler.
Vous aurez certainement deviné que le comportement de l’avion n’est pas identique à celui que nous avons décrit dans la section précédente. Le choix fait par les développeurs est beaucoup plus intuitif. Lorsque l’avion sort en haut de la carte, il réapparaît à la même longitude en bas de la carte. Il suffit de consulter la figure comparative Comportement des avions pour apprécier à quel point cela améliore le contrôle de l’aéronef. En particulier sur notre monde il faut que le joueur passe rapidement d’appuyer vers le haut à appuyer vers le bas lorsqu’il passe la frontière supérieure sinon son avion fait des allers-retours rapides.
Ce simple choix de design de jeu est-il sans conséquence ? Recollons, nous verrons bien! D’abord, la figure Comportement des avions montre bien que, comme pour notre carte, le bord droit devra être recollé au bord gauche. Cela étant fait, nous obtenons un cylindre. Le choix de design qui simplifie le contrôle de l’avion nous oblige à recoller le bord supérieur du cylindre au bord inférieur. Il faut encore courber l’objet dans nos mains comme le montre l’encadré L’univers est un tore.
Notre réflexion nous a montré que la surface de la planète Bleue de Final Fantasy IV n’est pas une sphère, mais plutôt un tore plus ou moins déformé.
Des mondes presque identiques?
Depuis le début de cet article, nous ne nous sommes pas gênés pour déformer les objets qui nous sont passés entre les mains. Nous avons courbé la carte deux fois plutôt qu’une. Nous avons étiré et compressé les espaces obtenus pour en faire des sphères ou des tores parfaits. Qu’est-ce qui prouve alors que notre monde en sphère est significativement différent de leur monde en tore? Peut-être qu’il suffit de déformer encore un peu l’un pour obtenir l’autre. Heureusement, notre article est sauvé puisque cela n’est pas le cas.
En nous limitant aux déformations sans découpage ni collage, il est impossible de déformer la sphère pour obtenir un tore. Nous voulons bien prendre soin d’interdire la découpe puisque nous voulons nous limiter aux déformations continues. Les points près les uns des autres doivent le rester. Nous voulons aussi éviter de coller des points initialement distincts puisque nous souhaitons que la déformation soit injective et donc qu’elle n’envoie pas des points différents sur le même point. Ceci signifiera géométriquement que notre transformation d’un espace à l’autre sera inversible. Une transformation qui est continue et bijective2 est appelée un homéomorphisme.
L’idée très profonde utilisée pour montrer qu’il n’existe pas d’homéomorphisme qui transforme le tore en sphère se comprend facilement intuitivement. Pour cela on regarde les courbes fermées que l’on peut tracer sur ces surfaces. Ces courbes n’ont ni début ni fin et nous les nommerons parfois des boucles comme dans l’illustration suivante.
Une déformation continue et bijective du tore déformerait toutes les courbes fermées qu’on peut y dessiner en de nouvelles courbes fermées sur la sphère. Deux boucles qui ne se touchent pas sur le tore ne se toucheront pas sur la sphère.
Regardons une boucle sur la sphère. Elle sépare la surface en deux régions : l’intérieur de la courbe et l’extérieur (voir figure Une boucle, deux régions).
Ainsi, il est impossible de tracer deux courbes fermées qui ne se coupent qu’une seule fois. Pourquoi? Prenons la même figure et regardons la courbe noire. Chaque deuxième courbe qui commence dans la zone orangée et qui entre dans la zone bleue intersecte la courbe noire une fois. Pour venir se fermer, elle devra revenir dans la zone orange, coupant de nouveau la courbe noire. Le nombre d’intersections doit donc obligatoirement être pair.
Sur le plan il est également impossible de dessiner deux boucles fermées qui ne se coupent qu’une seule fois (si on exclut le cas où elles sont tangentes). Cela venait, pour la sphère, du fait qu’une courbe fermée séparait la surface en deux régions. Mais, est-ce encore vrai sur le tore?
Regardons cette courbe : elle est la frontière d’une unique région! Il n’y a plus de distinctions entre l’intérieur et l’extérieur.
C’est cette propriété qui permet l’existence sur le tore de deux boucles qui ne se coupent qu’une seule fois comme on le voit ici :
Notons que les courbes choisies correspondent aux déplacements parfaitement horizontal et parfaitement vertical de l’avion dans le monde de Final Fantasy IV. Pouvez-vous expliquer pourquoi cela ne fonctionne pas sur notre mappemonde?
Regardons maintenant ce déplacement de l’avion.
Il correspond sur le tore à la boucle fermée qui spirale quatre fois autour du tore :
Quel serait le déplacement observé sur notre Terre d’un avion qui se déplacerait de cette façon sur notre mappemonde? À vous maintenant d’imaginer d’autres mouvements de l’avion sur le tore et leur représentation sur la carte.
Conclusion
Nous avons montré comment la topologie nous sert à visualiser le monde imaginaire résultant du choix de design faits dans le jeu Final Fantasy IV. Ce monde obtenu en voulant simplifier le contrôle de l’avion est totalement différent de celui dans lequel on vit.
Gardez les yeux ouverts maintenant sur les choix de design faits dans les jeux vidéo! Essayez d’en trouver qui changent profondément leur monde. Serez-vous en mesure de décrire ces changements et d’en expliquer les causes et les conséquences? Nous serions intéressés de vous entendre.
- Il faudra parfois prendre le modulo 360. Autrement dit, si $\ell +180>180$ alors la nouvelle longitude sera $\ell +180 – 360.$ ↩
- On dit d’une transformation qu’elle est bijective si tous les points de l’ensemble d’arrivée sont atteints par la transformation et que tous les points de l’ensemble de départ sont envoyés sur des points différents. En d’autres mots, on associe à chaque point de l’ensemble de départ exactement un point de l’ensemble d’arrivée et, ce faisant, aucun point ne se retrouve seul. ↩
