Rappel de l’énoncé
Michel a demandé à trois personnes de prendre une feuille de papier et un crayon. Pierre, Leila et moi avons été volontaires. Chacun a été invité à écrire un nombre de trois chiffres dont le premier et le dernier chiffres diffèrent l’un de l’autre d’au moins deux unités. J’ai choisi le nombre 752. J’ignore quels nombres ont été choisis par Pierre et Leila. Michel nous a demandé d’inverser l’ordre des chiffres et de soustraire le plus petit des deux nombres de trois chiffres du plus grand. J’ai donc fait la soustraction 752 – 257, ce qui m’a donné 495. Pierre et Leila de leur côté ont fait un calcul analogue à partir du nombre que chacun avait choisi. Michel nous a ensuite demandé d’inverser les chiffres du résultat obtenu et d’ajouter cet inverse au résultat précédent. J’ai calculé 495 + 594 = 1089. Pierre et Leila, de leur côté, ont fait l’opération. Michel nous a demandé, à son signal, de lire à voix haute, en même temps, le résultat de notre calcul. Il nous a fait un signe. Pierre, Leila et moi avons tous les trois en même temps lu: mille quatre-vingt-neuf. Comment a-t-il fait pour nous forcer à trouver tous les trois le résultat 1089?
La réponse est très simple: quel que soit le nombre de trois chiffres que vous choisissez en respectant les consignes (un écart de deux unités au moins entre le premier chiffre et le dernier), vous trouverez 1089 à l’issue du calcul demandé par Michel. Si vous en doutez, vous pouvez faire un programme d’ordinateur qui vérifiera tous les cas possibles (il y en a moins de mille), mais un petit calcul algébrique est tout aussi rapide. Le nombre choisi est:
\[100a + 10b + c, \]
le nombre inversé
\[100c + 10b + a.\]
Supposons que \(a > c\) (le cas ouÌ€ \(a < c\) conduit aux mêmes calculs). La soustraction donne:
\[R = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a) = 100 (a – c) + (c – a)\]
Par hypothèse, \(c – a\) est négatif. Pour avoir le chiffre des unités de \(R\), il faut ajouter 10 à \(c – a\) (cela correspond à la prise en compte de la retenue pour les unités dans l’opération de soustraction). La retenue des unités crée une retenue pour les dizaines et le chiffre des dizaines est donc 9. Le report de la retenue des dizaines conduit alors à retirer 1 au chiffre des centaines. Tout cela signifie que \(R\) s’écrit sous la forme:
\[R = 100 (a – c – 1) + 90 + (10 – c + a). \]
On vérifie bien que
\[100 (a – c – 1) + 90 + (10 – c + a) = 100 (a – c) + (c – a).\]
Nous savons donc que \(R\) possède:
- \(a – c – 1\) comme chiffre des centaines,
- 9 comme chiffre des dizaines et
- \(10 – c + a\) comme chiffre des unités. Si maintenant à \(R\), on ajoute le nombre obtenu en inversant les chiffres de \(R\), on trouve:
\[100(a-c-1) + 90 + (10-c+a)\\ + 100(10-a+c)+90+(a-c-1)\]
Tout se simplifie et aboutit à:
\[900 + 90 + 90 + 9 = 1089.\]
Michel n’a aucun pouvoir magique, il sait seulement que même si cent personnes font les calculs demandés, tous arriveront ensemble à 1089.
