Rappel de l’énoncé
Les pions du jeu d’Othello sont au nombre de 64 et possèdent chacun une face blanche et une face noire. On les étale devant le Grand logicien fou en les disposant de telle sorte que 10 pions montrent leur côté blanc et 54 leur côté noir.
Le Grand logicien fou annonce : « Vous allez me bander les yeux, mélanger les pions (sans en retourner); ensuite je manipulerai les pions et j’en ferai deux paquets A et B. Vous pourrez alors constater qu’il y aura le même nombre de pions noirs dans le paquet A et dans le paquet B ».
Cela semble totalement absurde : si les pions sont mélangés, le Grand logicien fou ne peut pas savoir ouÌ€ sont les pions montrant leur côté noir, et donc le partage qu’il prétend faire est impossible. Pourtant, on lui bande les yeux, il manipule les pions et compose deux paquets A et B ayant chacun le même nombre de pions noirs. Comment fait-il?
La solution
Bravo à Matthieu Calame et Nicole Garnier qui m’ont fait parvenir une solution.
1. Le grand logicien fou prend 10 jetons au hasard parmi les 64 et les place dans le paquet A.
2. Il prend ensuite les 54 jetons restants, les retourne tous et les place dans le paquet B.
A et B ont le même nombre de jetons côté noir. En effet :
- s’il y a 10 jetons noirs dans A, alors A contient 0 blanc, donc B contient 10 blancs et 44 noirs, ce qui, une fois retournés, fait 10 noirs et 44 blancs;
- s’il y a 9 jetons noirs dans A, alors A contient 1 blanc, donc B contient 9 blancs et 45 noirs, ce qui, une fois retournés, fait 9 noirs et 45 blancs;
- s’il y a 8 jetons noirs dans A, alors A contient 2 blancs, donc B contient 8 blancs et 46 noirs, ce qui, une fois retournés, fait 8 noirs et 46 blancs; etc.
(Cas général : s’il y a n jetons noirs dans \(A(0\leq n \leq 10),\) alors A contient \(10-n\) jetons blancs, et donc B contient d’abord \(10 – (10 – n)\) jetons blancs, c’est-à-dire n jetons blancs qui, une fois retournés, donnent n jetons noirs : A et B ont donc chacun n jetons noirs).
