Un hôtel infini dont les chambres sont numérotées par les entiers \(0, 1, 2, 3, \dotsc\) est complet pour la nuit.
(A) Arrive un client : « pas de problème » lui répond le responsable de l’accueil « installez-vous dans la chambre \(0,\) je demande au client de la chambre \(0\) de passer dans la chambre \(1,\) à celui de la chambre 1 de passer dans la chambre \(2,\) etc. ». L’accueil dispose bien sûr d’un téléphone infinitaire qui permet de téléphoner simultanément à toutes les chambres en demandant au client de la chambre \(n\) de passer en \(n + 1.\) Le nouveau client peut donc être accueilli, et cela sans qu’aucun client ne soit privé de chambre.
(B) Dix minutes plus tard arrive un car (bien sûr infini) de nouveaux clients qui demandent à passer la nuit dans l’hôtel. « Pas de problème » répond le responsable de l’accueil au chauffeur du car. Il utilise son téléphone infinitaire pour demander au client de la chambre \(n\) de passer dans la chambre \(2n.\) Il indique alors au chauffeur du car que le voyageur numéro \(i\) (\(i = 0, 1, 2, \dotsc\)) de son autocar peut disposer de la chambre \(2i + 1\) – qui est effectivement libre puisque toutes les chambres de numéro impair ont été libérées. Chaque nouvel arrivant a trouvé à se caser et aucun de ceux qui occupaient l’hôtel (pourtant complet avant l’arrivée du car) n’a été chassé!
Cela semble étonnant, mais relisez bien les situations décrites en (A) et en (B), rien n’y est vraiment absurde. L’infini permet ce genre de petit miracle. Le nouveau problème est lié à cet hôtel infini, appelé Hôtel de Hilbert en l’honneur de David Hilbert, un des plus grands mathématiciens du XXe siècle.
(C) Une demi-heure plus tard arrive un groupe plus important encore, car constitué d’une infinité d’autocars chacun ayant à son bord une infinité de passagers. La question est : Comment le responsable de l’accueil doit-il procéder pour résoudre le problème posé par cette brusque arrivée de clients (une infinité d’autocars infinis!) et offrir une chambre à chaque nouvel arrivant sans chasser aucun de ses clients?
