Parfois nos lecteurs nous envoient des problèmes mathématiques intéressants que nous partageons avec vous.
La carte du territoire et l’ampleur symbolique
Problème proposé par Gregory V. Akulov, enseignant, Luther College High School, Regina, Saskatchewan.
La frontière de la Saskatchewan sur une carte est souvent représentée par un trapézoïde dont la forme particulière place le centre du cercle circonscrit à l’intérieur du quadrilatère.
Soient a, b, c et d respectivement les longueurs des bases, du diamètre du cercle circonscrit et de la diagonale du trapézoïde. Montrez alors que
\[2d=\sqrt{(c+a)(c+b)} + \sqrt{(c-a)(c-b)}\]
Le point milieu d’un arc: prises théoriques pour statique et kinétique…
Problème proposé par Gregory V. Akulov, enseignant, Luther College High School, Regina, Saskatchewan.
Un objet initialement au repos, glisse du haut d’un chemin vertical semi-circulaire avec un diamètre horizontal (voir diagramme). Aux points A, B, C, et M le long du demi-cercle, l’objet a une énergie cinétique exprimée en joules a = 62 J, b = 638 J, c = 962 J, et $\mu$ J, respectivement. Si C est le point le plus bas du chemin, et M est équidistant entre A et B, déterminez la valeur exacte de $\mu$. Vous supposerez que le chemin est sans friction et que la résistance de l’air est négligeable.
A l’aide de la formule donnant le milieu d’un arc de cercle pour résoudre ce problème, on trouve
\[2 \mu = \sqrt{(962 J + 638 J)(962 J + 62 J)} + \sqrt{(962 J-638 J)(962 J-62 J)}, \: \text{and} \: \mu = 910 J\]
1. Vérifiez la réponse en utilisant une approche alternative. Comparez les solutions.
2. Démontrez que les valeurs de l’énergie cinétique a, b, c, et $\mu$ satisfont
\[2 \mu = \sqrt{(c+a)(c+b)}\pm \sqrt{(c-a)(c-b)} \; \; \; \; \;(1)\]
3. Spécifiez quand est-ce que (1) requiert la somme des radicaux, et quand elle requiert leur différence.
Une tarte elliptique pour le jour de \(\pi\)
Problème proposé par Gregory V. Akulov, enseignant, Luther College High School, Regina, Saskatchewan. Soumis pour la journée Pi, le 14 mars 2015
Depuis le temps de Pythagore, les classiques \(\pi r^2\) et \(\pi a b\) se rencontrent partout de l’astronomie à l’architecture, en passant par la machinerie et l’art et même la … cuisine. Une recette délicieuse des anciens décrit une tarte elliptique centrée à O (voir figure) dont les tranches délicieuses BMO et CMO ont l’aire égale. Le grand axe et le petit axe de l’ellipse mesurent 34 et 24 cm respectivement. Si B est à 10 cm au-dessus du grand axe et que C se situe à 4 cm en-dessous de celui-ci, à quelle distance se trouve M du grand axe? Donnez une réponse précise.
Un entrainement de hockey et … de racine carrée
Problème proposé par Gregory V. Akulov, enseignant, Luther College High School, Regina, Saskatchewan. Soumis en décembre 2014 et dédié à l’équipe de hockey de Luther College High School, champions en 2013-14 et en 2014-15.
Un enregistrement vidéo démontre qu’une rondelle qui se déplace à une vitesse constante parcourt le rayon OA, ainsi que les cordes AB et BC en 0,3 s, 0.4 s et 0,1 s respectivement. Si le temps pour parcourir la corde CD est la même que pour parcourir la corde DA, démontrez que \(BD=BC\sqrt{5(4+\sqrt{a})},\) où \(a\) est un nombre entier.
