Le principe de récurrence est l’un des outils les plus puissants du raisonnement mathématique. Il consiste, pour établir une propriété générale du type « pour tout \(n, P(n)\) », à prouver deux affirmations :
- \(P(0)\) est vrai
- si \(P(n)\) est vrai pour \(n = 0, 1, \ldots k\), alors \(P(k +1)\) est vrai.
Dans un raisonnement par récurrence, malheureusement l’intuition est un peu perdue, aussi des erreurs deviennent possibles. Voici un exemple de raisonnement par récurrence conduisant à une absurdité.
Nous allons démontrer qu’en mathématiques rien ne bouge, plus précisément, nous allons établir que toutes les fonctions \(x \to x^n\) (\(n\) un entier fixé) sont des fonctions constantes.
- C’est vrai pour \(n = 0\) car \(x^0 = 1\) (par convention) et que la dérivée d’une constante est la fonction nulle.
- Supposons que c’est vrai pour \(n = 0, 1, \ldots, k,\) c’est-à-dire que la dérivée de la fonction \(x \to x^n\) est nulle :
\((x^n)’ = 0\) pour \(n = 0, 1, \ldots, k.\)
Utilisons maintenant la formule de dérivation d’un produit \((uv)’ = u ’v+ uv’\). On a : \((x^{k+1})’ = (x \cdot x^k )’ = x’ \cdot x^k + x \cdot(x^k)’\)
On obtient 0 car, d’après l’hypothèse de récurrence, on a \(x’ = (x^1)’ = 0\) (on utilise l’hypothèse avec \(n = 1\)) et \((x^k)’ = 0\) (on utilise l’hypothèse avec \(n = k)\).
Nous avons donc \((x^{k +1})’ = 0\), ce que nous souhaitions. Qu’est-ce qui cloche ?
