Glanures mathématico-littéraires
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« Sommes à la Gauss »
a) Évaluer la somme de sentiers de 1 à 100 en vous appuyant sur un « calcul efficace », par exemple un réarrangement inspirant des termes de la somme.
b) Votre calcul de la partie a) peut-il s’interpréter géométriquement ?
c) Et que dire de la somme des entiers de 1 à 99 ?
d) Soit maintenant une progression (ou suite) arithmétique quelconque. Il s’agit donc de nombres de la forme \(u_n = a + nd\), avec \(a,d \in \mathbb{R} \)et \(n \in \mathbb{N}\). (Le réel \(d\) est la différence entre deux termes consécutifs de la suite. On suppose que \(d \neq 0\).)
Posant \(S_n =u_0 +u_1 +\cdots u_{n–1}\) — une somme de \(n\) termes —, trouver une expression générale pour \(S_n\) en fonction de l’indice \(n\) et des paramètres \(a\) et \(d\). (La partie a) porte sur le cas où \(n = 100\) et \(a=d=1\).
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On appelle progression (ou suite) géométrique une suite de nombres de la forme \(v_n = ar^n\), où \(a,r \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}.\) (Cette suite est dite de raison \(r\), ce réel donnant le rapport entre deux termes consécutifs de la suite. On suppose que \(a\) et \(r\) ne sont pas nuls.)
a) Posant \(S_n=v_0+v_1+ \cdots v_{n–1}\),trouver une expression générale pour \(S_n\) en fonction de l’indice \(n\) et des paramètres \(a\) et \(r\).Tuyau : En introduisant l’expression \(rS_n\), on peut produire un phénomène de « télescopage » permettant d’éliminer beaucoup de termes.
b) Montrer que dans une progression arithmétique, chaque terme, sauf le tout premier \(u_0\), est la moyenne (arithmétique) de ses deux voisins.
c) Montrer de même que chaque terme d’une progression géométrique est la moyenne géométrique de ses deux voisins.
Rappel : Étant donné deux entiers positifs, leur moyenne géométrique est la racine carrée de leur produit.
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À propos de la proposition I.47 des Éléments d’Euclide, Proclus s’intéresse entre autres à une méthode qu’il attribue à Pythagore afin de trouver des triplets pythagoriciens1 — voir encadré p. 39.
a) Traduire cette méthode à l’aide d’une expression algébrique, puis en vérifier algébriquement l’exactitude.
b) En donner une preuve géométrique plausible dans le cadre des mathématiques grecques de l’Antiquité.
c) Trouver trois triplets pythagoriciens différents à l’aide de cette méthode. Existe-t-il des triplets pythagoriciens qui ne résultent pas de cette méthode ?
- Mêmes questions, cette fois en lien avec la méthode attribuée à Platon par Proclus — voir encadré p. 39.
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Soit \((x, y, z)\), un triplet pythagoricien. On dit que ce triplet est primitif si le PGCD de ses trois composantes est 1.
a) Donner trois exemples de triplets pythagoriciens primitifs.
b) Montrer que dans un triplet pythagoricien primitif, les deux composantes \(x\) et \(y\) sont de parité opposée. En déduire que \(z\) est forcément impair.
c) Montrer que le triplet \((x, y, z)\) est pythagoricien et primitif si, et seulement si, il est de la forme\[(\#)\left\{ \begin{array}{l} x=r^2-s^2\\y=2rs\\z=r^2+s^2,\end{array} \right.\]où \(r\) et \(s\) sont deux entiers de parité opposée et dont le PGCD est 1 (avec \(r > s > 0)\).
Tuyau : Une « moitié » de cette équivalence se démontre aisément ; l’autre relève d’un cours élémentaire de théorie des nombres.
d) Trouver tous les triplets pythagoriciens primitifs, pour \(2 \leq r \leq 7.\)
- On appelle triplet pythagoricien un triplet \((x, y, z)\) d’entiers positifs tels que \(x^2 + y^2 = z^2.\) ↩
