On pourrait s’attendre à ce que les lois de physique expliquant le comportement des plus petites particules soient semblables à celles décrivant les objets familiers comme un ballon ou la lune orbitant la Terre. Au contraire, ce que la physique quantique nous révèle paraît si bizarre et contre-intuitif qu’il est difficile d’y croire. Pourtant les mathématiques qui décrivent ces lois étranges sont assez simples!

Nous retrouvons notre petite fourmi préférée qui, après avoir découvert la relativité générale d’Einstein, étudie maintenant la physique quantique, qui se révèle être encore plus stupéfiante. C’est à ce moment qu’elle reçoit la visite de sa bonne amie, Alice, de retour de ses aventures au pays des merveilles.

La fourmi décide alors d’expliquer le simple concept mathématique qui est au cœur de la théorie quantique et l’une de ses plus mystérieuses implications, l’intrication quantique, dont la confirmation expérimentale a été récompensée par le prix Nobel de physique de 2022.

Les expériences portant sur l’intrication quantique sont habituellement faites avec des photons (qui constituent la lumière). Ces particules ont une propriété appelée « spin » (ou « polarisation ») qui est facile à mesurer mais qu’il est impossible de décrire en détail sans des notions avancées de physique. Ce qu’il suffit de savoir est que lorsqu’on mesure le spin, on obtient toujours l’un de deux résultats possibles (dont les valeurs exactes ne sont pa importantes pour notre discussion).

Pour comprendre l’essence de la physique quantique, la petite fourmi décide d’utiliser une analogie dans laquelle un photon est représenté par une carte postale sur laquelle on peut voir soit un triangle soit un cercle, pour représenter les deux mesures possibles du spin. Mais, explique la fourmi, en physique quantique le processus de mesure est un aspect crucial de la théorie et il est essentiel de faire la distinction entre l’état d’une particule avant que son spin soit mesuré et son état après la mesure. Pour tenir cela en ligne de compte, on doit considérer dans notre analogie que toute carte postale est à l’intérieur d’une enveloppe avant d’être regardée (ou, comme disent les physiciens, « observée »). Une mesure du spin sera alors représentée par l’ouverture de l’enveloppe et l’observation du symbole \(\Delta\) ou \(\bigcirc\) sur la carte postale.

Alice :
Je ne comprends pas. Pourquoi faire la distinction entre une carte ayant un triangle qu’on a regardée et cette même carte avant que l’on ait ouvert son enveloppe ?

Fourmi :
Excellente question. Dans un monde non quantique (on appelle cela parfois un monde « classique »), il n’y aurait pas de distinction. Mais on arrive maintenant au cœur de l’étrangeté de la physique quantique. Classiquement, une carte peut être seulement dans deux « états physiques » possibles: elle est marquée soit d’un triangle, soit d’un cercle. Mais en physique quantique, une carte, avant d’être observée, peut en fait être dans un nombre infini d’états physiques possibles !

Vecteurs au cœur de la physique quantique

La branche des mathématiques dont on a besoin pour décrire ces états porte le nom d’algèbre linéaire. Le concept fondamental en algèbre linéaire est celui de vecteurs.

Pour comprendre les vecteurs, il suffit de connaître le principe essentiel qui les caractérise: multiplier un vecteur par un nombre donne à nouveau un vecteur, et additionner deux vecteurs donne également un vecteur. Combinant ces deux propriétés, pour deux vecteurs \(v_1\) et \(v_2\) et deux nombres \(a\) et \(b\), l’expression \(av_1\) + bv_2\) est bien définie mathématiquement (on appelle cela une « combinaison linéaire de vecteurs ») et donne comme résultat un autre vecteur \(v_3\). L’algèbre linéaire est un vaste sujet qui a énormément d’utilité dans de nombreux domaines (par exemple dans le graphisme des jeux vidéos) mais nous n’aurons besoin ici que du concept de combinaison linéaire.

Après de longues recherches, les physiciens ont découvert que les états physiques, par exemple une carte portant un triangle et une carte portant un cercle, doivent être vus comme des vecteurs (les physiciens utilisent l’étrange notation \(|\Delta \rangle\) et \(|\bigcirc \rangle\) pour ces deux vecteurs qui sont alors appelés « vecteurs d’états »). Par conséquent on doit pouvoir construire une infinité d’autres états physiques en utilisant des combinaisons linéaires qui sont appelées dans ce contexte des « superpositions d’états ». Ces superpositions sont de la forme

\[\begin{array}{l r}\Psi \rangle = a | \Delta \rangle + | \bigcirc \rangle, & (1) \end{array}\]

où on a utilisé la lettre grecque psi pour noter le vecteur résultant, qui est souvent appelé « fonction d’onde » pour des raisons historiques. C’est l’existence de cette infinité d’états quantiques qui est à l’origine de la puissance de calcul des ordinateurs quantiques.

En physique quantique, les nombres \(a\) et \(b\) sont en général complexes (dans le sens qu’ils peuvent contenir le nombre imaginaire \(i = \sqrt{−1})\). Pour garder les choses simples, considérons les états pour lesquels \(a\) et \(b\) sont des nombres réels. Ces deux nombres doivent obéir à la condition \(a^2 + b^2 = 1\) pour une raison qui deviendra claire bientôt.

Les probabilités entrent en jeu

Alice :
C’est très sensé de parler de combinaisons linéaires en mathématiques. Mais pour ce qui est de la signification physique, je suis perdue. Je ne peux comprendre ce que ça veut dire, qu’une carte puisse être dans un état de superposition.

Fourmi :
J’y arrive ! D’abord rappelons qu’on ne parle pas ici de vraies cartes postales mais d’une analogie pour représenter les états de spin de photons (qui ne peuvent être observés qu’avec des détecteurs sophistiqués). Une vraie carte ne peut être dans une superposition d’états même si les particules dont elle est faite – électrons, protons et neutrons – le peuvent. Ceci est dû au fait que les effets quantiques ont tendance à s’annuler lorsqu’on assemble un nombre énorme de particules.

La physique quantique nous dit que ce qui se passe dans le monde des particules obéit à ce qu’on appelle le postulat de la mesure. L’état de spin d’une particule avant toute mesure est représenté mathématiquement par la combinaison linéaire (1) de deux états de spin \(|\Delta \rangle\) et \(|\bigcirc \rangle\), où on utilise ces symboles au lieu des valeurs de spin qui sont mesurées dans une vraie expérience. C’est cet état qu’on visualise comme une carte dans une enveloppe fermée.

Lorsqu’on mesure le spin d’une particule (action représentée par l’ouverture de l’enveloppe et l’observation du symbole sur la carte), le postulat de la mesure dit qu’il y a une probabilité égale à \(a^2\) d’obtenir la valeur de spin correspondant à \(\Delta\) et une probabilité égale à \(b^2\) que la valeur corresponde à \(\bigcirc\). Dans notre analogie, ce sont les probabilités de voir un triangle ou un cercle sur la carte, respectivement. La somme de ces deux probabilités doit être égale à 1, ce qui explique la condition \(a^2 + b^2 = 1\).

Le postulat de la mesure nous dit également qu’une fois l’observation faite (une fois l’enveloppe ouverte), l’état physique de la carte (c’est-à-dire du photon!) change. Si par exemple on observe un triangle sur la carte, son état physique sera \(|\Delta \rangle\) juste après l’observation et si on observe un cercle, l’état sera \(|\bigcirc \rangle\). Ce passage de l’état \(|\Psi \rangle\) (voir l’équation 1) à \(|\Delta \rangle\) ou \(|\bigcirc \rangle\) après une mesure est ce que les physiciens appellent l’« effondrement de la fonction d’onde ». La mesure a modifié l’état physique de la carte !

Par exemple, on peut avoir une carte (cachée dans une enveloppe) dans l’état quantique suivant:
\[|\Psi \rangle = 0,25 |\Delta \rangle + 0,75 |\bigcirc \rangle.\]

Cela nous dit qu’il y a une probabilité de 25 % de voir un triangle et de 75 % de voir un cercle si on ouvre l’enveloppe et regarde la carte.

À partir de maintenant, je parlerai de l’état quantique de cartes mais n’oublions pas que cela sera une image pour l’état quantique de photons.

Alice :
D’accord. Mais au lieu de parler de probabilités d’observer un triangle ou un cercle si on ouvre l’enveloppe, pourquoi ne pas le dire plus simplement : il y a 25 % de chances que la carte qui est dans l’enveloppe soit marquée d’un triangle et 75 % qu’elle soit marquée d’un cercle. Présenté comme cela, ça ne sonne pas si mystérieux !

Fourmi :
Parce que ce n’est PAS ce que nous enseigne la physique quantique ! Elle nous dit qu’avant que l’enveloppe soit ouverte, la carte n’est pas marquée d’un triangle ou d’un cercle. Elle existe plutôt dans un état mystérieux dans lequel elle a la possibilité d’être observée avec un triangle (avec une probabilité de 25 %) et la possibilité d’être observée avec un cercle (avec probabilité de 75 %) ! C’est complètement différent de ce que tu suggères. Avant qu’une observation soit faite, on ne peut pas dire qu’il y a quelque chose d’écrit sur la carte !¹

Alice :
Quoi !? C’est plus fou que tout ce que j’ai rencontré au pays des merveilles, et c’est encore plus renversant parce qu’on parle ici du monde réel !

Attends une minute. On a plein de situations dans la vie de tous les jours où les probabilités jouent un rôle, comme lorsqu’on jette des dés ou on tire à pile ou face. Si on a une pièce de monnaie truquée qui donne pile 25 % du temps et face 75 % du temps, alors ouvrir une enveloppe et regarder la carte n’est-il pas la même chose que lancer cette pièce et observer le résultat ? Avant d’être lancée la pièce n’indique pas encore ni pile ni face. Ne peut-on donc aussi dire qu’elle est en état de superposition de l’état «pile» et l’état «face» et que lancer la pièce est la même chose que mesurer son état ?

Fourmi :
C’est une analogie souvent utilisée mais elle est malheureusement trompeuse. L’apparition de probabilités dans le cas du lancer d’une pièce de monnaie (truquée ou pas) vient du fait que l’on ne connaît pas tous les détails du mouvement de la pièce quand elle est lancée. Si on connaissait avec une très grande précision la forme de la pièce, sa position et sa vitesse initiales, les forces appliquées par les molécules d’air et les doigts qui l’ont lancée, la surface où elle rebondit, etc., on pourrait calculer avec certitude quel résultat serait obtenu à chaque lancer. Les probabilités apparaissent pour décrire le lancer d’une pièce de monnaie ou d’un dé seulement parce qu’il nous manque de l’information.

Dans le cas quantique, on connait absolument tout ce qui est possible de connaître sur l’état quantique de la carte, qui est décrit par la combinaison linéaire (1). Et même en connaissant
cela, on ne peut pas prédire avec certitude laquelle des deux valeurs de spin sera obtenue lors d’une mesure. Les probabilités font partie des lois de la Nature à un niveau fondamental ! Ce n’est pas facile à croire, même pour les physiciens les plus brillants. Einstein lui-même ne pouvait se résoudre à accepter cet aspect probabiliste des lois fondamentales de la Nature.

Le paradoxe EPR

Cela a amené Einstein à introduire en 1935 avec ses collègues Boris Podolsky et Nathan Rosen, un argument qui semblait prouver que le postulat de la mesure ne pouvait être correct (et qu’on appelle maintenant le paradoxe EPR, d’après leurs noms). Avant d’expliquer cela, je dois discuter d’un aspect encore plus fantastique du principe de superposition : l’intrication quantique. Mais nous aurons besoin de l’aide d’une troisième personne. Qui pourrait bien nous aider ? Oh, je sais ! Demandons à la cigale : comme elle passe son été à chanter, elle a sûrement un peu de temps pour nous aider.

Il faut maintenant considérer un état composé de deux cartes postales, chacune dans son enveloppe. Disons que je t’envoie à toi, Alice, une des cartes et j’envoie l’autre à la cigale. Les cartes constituent un seul état, même quand elles sont séparées par une grande distance.

Disons que l’état quantique décrivant les deux cartes à l’intérieur de leurs enveloppes respectives est

\[|\Psi \rangle = \sqrt{0,30} |\Delta_A, \bigcirc_C \rangle + \sqrt{0,70}| \bigcirc_A,\Delta_C \rangle.\]

Dans cette expression, le premier terme veut dire qu’il y a 30 % de chances que lorsque vous ouvrez vos deux enveloppes, tu observes un triangle sur ta carte (l’indice « A » signifie Alice) et que la cigale observe un cercle. Le deuxième terme signifie qu’il y a 70 % de chances pour que vous observiez l’opposé. L’équivalent de cet état pour les spins de deux photons peut être créé dans des expériences réelles.

Disons que tu observes un cercle sur ta carte. Alors, d’après le postulat de la mesure, la fonction d’onde s’effondrera sur l’état \(|\bigcirc_A, \Delta_C \rangle\). Maintenant, si la cigale ouvre sa propre enveloppe, on est certain qu’elle observera sa carte marquée d’un triangle.

Mais que se passe-t-il si la cigale ouvre son enveloppe avant toi ? Dans ce cas, l’état physique est toujours \(|\Psi \rangle\) lorsque la cigale jette un coup d’oeil à sa carte. Elle a donc une probabilité de 30 % d’observer un cercle sur sa carte et de 70 % d’observer un triangle.

La conclusion inévitable est que lorsque tu ouvres ton enveloppe en premier, cela affecte non seulement l’état de ta carte, mais également la carte postale de la cigale, étant donné que l’effondrement de la fonction d’onde que tu as causé influence les probabilités des observations de la cigale (bien sûr, l’inverse est aussi vrai : si la cigale est la première à ouvrir son enveloppe, cela affectera l’état de ta carte). On dit alors que les deux cartes sont dans un état d’« intrication quantique »: faire une mesure sur une des cartes affecte l’état de la deuxième carte avant même que cette dernière soit observée. Ce qui est remarquable est que la théorie prédit que cet effet est instantané et se produit peu importe la distance séparant les deux observateurs.

Cela semble contredire la théorie de la relativité restreinte. En effet, un de ses principes est qu’aucune matière ou forme d’énergie ne peut se propager plus vite que la lumière (dont la vitesse est approximativement 300 000 km/s). Cela implique qu’aucun signal ne peut se propager plus vite que la lumière. Considérons par exemple la Terre et Neptune, dont la distance est telle que la lumière prend près de quatre heures pour aller d’une planète à l’autre. Si tu te trouves sur Terre et que tu apprends que ton équipe de sport favorite vient de gagner un championnat, il n’y a aucun moyen de laisser savoir la nouvelle à un ami qui se trouve sur Neptune en moins de quatre heures.

On voit maintenant la contradiction avec la physique quantique. Disons que tu es sur Terre et la cigale est sur Neptune, et que je suis à mi-chemin entre vous deux lorsque je vous envoie vos deux enveloppes. Si tu ouvres ton enveloppe dès que tu la reçois, la physique quantique nous dit que ta mesure causera l’effondrement de la fonction d’onde et a ainsi un effet immédiat sur les résultats possibles que la cigale pourra ensuite obtenir.

Pour Einstein et ses collègues, cela démontrait qu’il n’y avait pas de superposition d’états et pas d’effondrement de fonction d’onde. Einstein croyait que les cartes portaient déjà leurs symboles avant que les enveloppes soient ouvertes, que ces symboles étaient en fait déterminés dès l’envoi des enveloppes (comme des cartes classiques) et que le besoin d’introduire des probabilités était dû au fait qu’il y avait des lois de physique qui n’avaient pas encore été dé- couvertes. Si on connaissait ces lois, on pourrait calculer certaines variables qui nous permettraient de prédire avec certitude la marque sur chacune des cartes avant les mesures (c’est ce qu’on appelle l’hypothèse des « variables cachées »). La présence de probabilités dans la physique quantique serait due à notre ignorance de lois de physique, pas à une probabilité inhérente dans les lois de physique fondamentales (un peu comme le résultat d’un lancer de dés semble probabiliste seulement parce qu’on ne connaît pas précisément toutes les variables affectant la trajectoire).

Une résolution du paradoxe ?

Alice :
Cela a dû bouleverser la communauté scientifique et mettre fin à la physique quantique !

Fourmi :
Pas du tout! Le formalisme de la phy- sique quantique était spectaculairement efficace pour expliquer une vaste gamme d’observations dans plusieurs domaines, comme la physique atomique. Il semblait aux physiciens(nes) que le paradoxe EPR était plus une question d’ordre philosophique que scientifique car ils ne croyaient pas possible de prouver ou réfuter l’existence des superpositions d’états.

Mais il y eut un coup de théâtre en 1964! Un brillant physicien irlandais, John Bell, proposa une expérience impliquant des photons dans un état intriqué qui permettrait de déterminer laquelle des deux interprétations, superposition d’états ou variables cachées, était correcte. Depuis, des expériences ont spectaculairement confirmé l’existence de l’intrication quantique et donc des superpositions d’états. Cela prouve de façon convaincante qu’une mesure ne peut être interprétée comme le lancer d’une pièce truquée, par exemple le lancer d’une pièce sur Terre ne pourrait affecter les résultats d’un lancer d’une autre pièce au même moment sur Neptune! Le monde dans lequel on vit est en effet plus étrange que le pays des merveilles.

Qu’en est-il de la contradiction avec la relativité ? Comment explique-t-on que l’influence entre deux particules d’un état intriqué se propage plus vite que la lumière ? Certains disent que cela n’est pas un problème car on ne peut utiliser l’intrication quantique pour envoyer un message (comme le résultat d’un championnat) parce qu’on ne peut contrôler les résultats des mesures. Mais cette explication n’est pas vraiment satisfaisante car il y a définitivement un effet qui est transmis plus vite que la lumière. Peut-être un lecteur ou une lectrice de cet Accromath expliquera un jour ce grand mystère de la science !

PDF