Le jeu des trois dés est un jeu à deux joueurs dont les règles sont les suivantes.
On dispose de trois dés entièrement blancs ayant chacun 6 faces et de 18 gommettes autocollantes à mettre sur les 18 faces des trois dés. Ces gommettes portent les numéros 1, 2, 3, …, 18.
a) Le joueur A place les gommettes comme il veut sur les 18 faces (une gommette par face).
b) Le joueur B choisit alors un des trois dés.
c) Le joueur A choisit un des deux dés restants.
d) Les joueurs A et B lancent chacun leur dé.
Celui qui obtient le plus gagne.
Imaginons, par exemple, que le joueur A compose un dé avec les gommettes 1, 2, 3, 4, 5, 6, un autre avec les gommettes 7, 8, 9, 10, 11, 12 et le troisième avec les gommettes 13, 14, 15, 16, 17, 18. Le joueur B aura alors la certitude de gagner : il choisira le troisième dé – qui est le plus fort – et, alors, quel que soit le choix du joueur A dans la phase (c) du jeu, le joueur B sera certain de gagner dans la phase finale (d). Choisir en premier un des trois dés semble un avantage décisif.
Tout ne sera pas toujours aussi net, mais on est tenté de penser qu’en choisissant le dé le plus fort, le joueur B a toujours un jeu favorable, c’est-à-dire qui lui donne une probabilité de gagner au moins égale à 1/2 dans la phase finale.
Le paradoxe est que cela est faux : le joueur A, qui colle les gommettes sur les faces des trois dés, peut le faire d’une telle façon que la phase finale lui est toujours favorable, c’est-à-dire lui donne une probabilité strictement supérieure à 1/2 de gagner.
Comment doit procéder le joueur A et qu’est-ce qui explique que le joueur A puisse disposer d’un dé plus fort que le dé choisi par B qui, pourtant, a choisi le dé qu’il désirait en premier ?
