- Le mouvement brownien est une description mathématique du mouvement aléatoire d’une particule immergée dans un fluide et qui n’est soumise à aucune autre interaction que les chocs avec des molécules, relativement petites, du fluide environnant.
Genèse du mouvement brownien
Le savant néerlandais Anthony van Leeuwenhoek1 (1632-1723) a été le premier à observer, à l’aide d’ un microscope, le mouvement irrégulier et désordonné de petits grains en suspension dans l’eau. Ce mouvement a été décrit par l’abbé catholique John Tuberville Needham (1713-1781), qui avait une grande maîtrise du microscope et qui attribua ce mouvement à une activité vitale.
En 1785, Jan Ingenhousz (1730-1799) médecin, botaniste et chimiste britannique d’origine néerlandaise a décrit le mouvement irrégulier de la poussière de charbon à la surface de l’alcool. On peut postuler qu’il fut l’un des premiers à découvrir ce qu’on appelle aujourd’hui le mouvement brownien.
En 1827, le botaniste écossais Robert Brown (1773-1858) en immergeant dans un liquide au repos des grains de pollen de la Clarkia pulchella (une espèce de fleur sauvage nordaméricaine d’environ 100 microns) remarqua le même comportement désordonné. Il observa au microscope de minuscules particules de quelques micromètres décrivant à la surface du liquide des trajectoires apparemment erratiques. Il utilisa les grains de pollen car ils contenaient des particules oblongues ayant une forme allongée plus longue que large. Brown était particulièrement passionné par les pollens et il croyait pouvoir suivre leur progression durant la fertilisation. Il pensait que ce mouvement était causé par un fluide vital provenant de l’intérieur des grains de pollen. En apprenant qu’Ingenkousz avait observé le même comportement pour la poussière de charbon, Brown renonça à son hypothèse du fluide vital et il réussit à montrer que ce mouvement chaotique se produisait également avec des grains de matière inerte. En 1828, Brown publia ses résultats dans un article2 de la revue The Edinburgh Journal of Science.
En 1877, le physicien Joseph Delsaux (1828-1891) et le mathématicien Père Jésuite Ignace Carbonnelle (1829-1889) ont émis l’hypothèse selon laquelle les changements continus de direction de trajectoires qui donnent lieu au mouvement aléatoire et erratique des grains de pollen, sont dus aux chocs incessants entre les particules de pollen et les innombrables molécules d’eau qui sont comparativement beaucoup plus petites que les grains de pollen. Par conséquent, les petites particules contenues dans les grains de pollen de la Clarkia pulchella se déplaceraient de façon erratique, car elles seraient heurtées ou bombardées par des entités invisibles nommément, les molécules d’eau dans lesquelles elles sont immergées. Comme ces molécules sont soumises en permanence à une agitation thermique, les particules se déplacent nécessairement les unes par rapport aux autres.
Bachelier et la naissance de la finance moderne
Le 29 mars 1900, Louis Bachelier a soutenu à la Sorbonne sa thèse de doctorat intitulée « Théorie de la spéculation » rédigée sous la direction du célèbre mathématicien Henri Poincaré. Dans cette thèse, Bachelier utilise l’idée du mouvement brownien pour modéliser la dynamique des prix des actions à la bourse de Paris3 Sa thèse contenait, entre autres, cette idée de lier les fluctuations boursières à l’équation de la chaleur, il exprime sa perspective de la diffusion de la probabilité. Cette thèse fut le début de la finance moderne et le point de départ de la théorie des produits dérivés qui s’appelaient à l’époque produits à prime.
Les idées et intuitions extraordinaires de Bachelier sont tombées dans l’oubli par la suite, et ce malgré les éloges d’Andreï Kolmogorov (1903-1987) qui fut le fondateur de la théorie moderne des probabilités avec l’axiomatique de Kolmogorov et le fameux triplet (\(\Omega,\) A, P) : espace fondamental, tribu, probabilité. Dans les années 1970 aux États-Unis, Paul Samuelson (1915-2009) prix Nobel d’économie en 1970 et Robert C. Merton (1944- ) prix Nobel d’économie en 1997, reprirent les idées de Bachelier en finance, lesquelles se sont propagées dans le monde entier par la suite.
Les expériences de Brown ont été reprises au début des années 1990, par Brian J. Ford4 dans les conditions les plus similaires possibles. Il fit les mêmes observations, ce qui justifiait l’appellation de mouvement brownien.
De nos jours, le mouvement brownien est omniprésent dans le modèle de Black-Scholes pour calculer la valeur théorique de certains contrats d’option, en utilisant les cours boursiers actuels, les dividendes attendus, le prix d’exercice de l’option attendu, les taux d’intérêt, le délai d’expiration et la volatilité attendue.
Une brève introduction aux processus stochastiques
Le mouvement brownien joue un rôle central dans la classe des processus stochastiques. Un processus stochastique représente, dans sa forme la plus simple, l’évolution d’une variable aléatoire ω dans le temps, ce dernier pouvant être discret ou continu. En regroupant plusieurs variables aléatoires, on a une famille de variables aléatoires X(t) définies pour tout t dans un intervalle de temps T.
Le marché boursier est un bon exemple d’un processus stochastique, tout comme le climat, l’électrocardiogramme, le nombre de buts dans un match de hockey, le nombre d’autos à un poste de péage pendant un intervalle de temps, l’évolution de la taille de la population en fonction du temps, la propagation de la covid-19 dans le monde, les mutations en biologie, etc.
Origine du mot stochastique
Le mot stochastique qui provient du grec ancien στοχαστικòς stochastikós, « conjectural », de στòχος, stókhos « but, cible, conjecture » signifie : qui n’est fondé que sur des conjectures revêtant ainsi un caractère aléatoire qui relève du hasard.
Dans l’oeuvre Ars Conjectandi sur la probabilité de Jakob Bernoulli qui fut publiée à Bâle en 1713, soit huit ans après son décès, il a utilisé l’expression « Ars Conjectandi sive Stochastice » traduite par « l’art de la conjecture ou de la stochastique ».
Dans son article publié en 1934, Joseph Doob (1910 – 2004), un illustre probabiliste américain a utilisé pour la première fois l’expression processus stochastique en langue anglaise. En fait, Doob a cité un autre article d’Aleksander Khintchin publié en 1934 où l’expression stochastischer Prozeß a été utilisée en allemand bien qu’elle ait été utilisée dans la même langue plus tôt en 1931 par Andreï Kolmogorov.
La modélisation d’Einstein
En 1905, Albert Einstein a donné une description quantitative du mouvement brownien et a modélisé pour la première fois le mouvement des particules dans un liquide soumises à des interactions aléatoires. Son article5 de 1905 étudie la probabilité qu’une particule se trouve en un endroit donné en un instant t. Cet article marque la naissance de la physique statistique.
Comme les grains de pollen sont immergés dans l’eau et qu’on est intéressé à décrire leurs trajectoires, alors soit W (t, ω) la position à l’instant t d’une particule de pollen ω le long d’une trajectoire sur laquelle elle peut se déplacer. Ainsi, pour traduire mathématiquement les observations de Brown, Einstein énonce les hypothèses que voici au sujet de W (t, ω) :
HYPOTHÈSE 1.
Le mouvement de chaque particule est indépendant des mouvements des autres particules. Ainsi, le mouvement de \(W (t, \omega_i )\) est indépendant de \(W (t, \omega_j )\) pour toute particule \(i \neq j\).
HYPOTHÈSE 2.
Les mouvements d’une même particule pendant deux intervalles de temps disjoints sont indépendants. Mathématiquement, les variables aléatoires \(W (t_1), W (t_2) – W (t_1), W (t_3) – W (t_2), . . .,\) sont indépendantes. Autrement dit, pour une trajectoire quelconque, les mouvements réalisés par la même particule n’ont pas d’influence entre eux sur des intervalles de temps disjoints.
HYPOTHÈSE 3.
La distribution de \(W(t_j ) – W(t_i )\) pour \(i < j,\) suit une loi normale de moyenne nulle et de variance égale à la durée de déplacement entre\( t_i\) et \(t_j \), i.e., \(N(0,t_j – t_i )\). En fait, comme il y a beaucoup de particules de pollen qui sont immergées dans l’eau et qui produisent des interactions mutuelles entre elles, alors le mouvement de telles particules est le résultat d’un grand nombre de collisions indépendantes les unes contre les autres et qui s’ajoutent entre elles. On peut alors postuler que le mouvement de ces particules suit une loi normale en vertu du théorème de la limite centrale.
HYPOTHÈSE 4.
La trajectoire de toute particule de pollen ω est continue, autrement dit, à chaque instant \(t\), la fonction associée \(W (t, \omega )\) est continue, l’interprétation physique de cette continuité étant que les particules ne sautent pas d’une position à une autre.
Mouvement brownien et Norbert Wiener
En 1923, Norbert Wiener est le premier à développer rigoureusement les bases mathématiques du mouvement brownien, en construisant une mesure de probabilité sur l’espace des fonctions continues réelles.
Contributions importantes de Paul Lévy et Kiyoshi Itô
Paul Lévy est une figure marquante dans le développement du mouvement brownien. Il publie en 1948 un livre intitulé « Processus stochastiques et mouvement brownien », et obtient alors de nombreux résultats qui portent son nom. En fait, il donne les conditions nécessaires et suffisantes pour définir le mouvement brownien.
Il introduit une première forme des équations différentielles stochastiques dont l’étude sera réalisée de façon systématique par Kiyoshi Itô, le fondateur du calcul stochastique nommé aussi le calcul d’Itô.
Définition du mouvement brownien standard
Le mouvement brownien standard est un processus stochastique continu qui est constitué d’une collection de variables aléatoires continues \(\{W (t), t \geq 0 \}\), tel qu’à l’origine \(W (0) = 0\).
Le mouvement brownien possède des accroissements stationnaires et indépendants. En fait, \(W(t+s)–W(t)\) est égale en loi à \(W(s)\), autrement dit, \(W(t)–W(s)\) ne dépend que de la valeur de \(t–s,\) et ainsi, \(W(t)–W(s)\) a la même distribution que \(W (t – s)\). De plus, les accroissements non-imbriqués \(W(t_1), W(t_2)–W(t_1),\ldots,W(t_n)–W(t_n–1)\) sont indépendants pour toute partition de temps
\[ [0=t_0 < t_1 < t_2< …< t_n=t] \text{ de } [0,t]. \]
De plus, \(W (t + \Delta t ) – W (t )\) est distribué selon une loi normale centrée de variance égale au temps écoulé \(\Delta t\), i.e., \(N(0, \Delta t )\).
Le mouvement brownien possède des trajectoires continues qui sont nulle part différentiables.
La variable aléatoire \(W (t )\) est distribuée selon une loi \(N(0, t )\); elle représente l’état du système au temps \(t\). Par conséquent,
\[ P(a \leq W(t)–W(s) \leq b) \\ = \displaystyle \int_{a}^{b} \frac {1}{\sqrt{2 \pi (t-s)}} \exp \left ( – \frac {x^2}{2(t-s)} \right ) dx.\]
Mouvement brownien et marche aléatoire
Considérons \(X_1, X_2, \ldots,\) une suite de marches aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (v. a. i. i. d.) telles que \(P(X_i=1)=P(X_i =–1)=1⁄2, i \in \mathbb{N}\). De plus, soit \(\{Sk, k \geq 1\}\) la suite associée à cette famille de variables aléatoires telle que
\[ \{ S_0=0 \text { et } S_k = \sum_{i=1}^{k} x_i \}, \]
avec \(E(S_k)=0\) et \(Var(S_k)=k\). Ladite suite est une marche aléatoire symétrique sur les entiers \(\mathbb{Z}\), qui est un processus stochastique à temps discret. Les changements d’état de cette marche aléatoire se produisent à chaque unité de temps en faisant un pas de \(\pm 1\) unité de déplacement avec équiprobabilité.
S’inspirant des propriétés déjà mentionnées du mouvement brownien standard et celles de la marche aléatoire \(S_k\), on considère le processus \(S_t\) pour \(t \in \mathbb{N}\), et on démontre qu’il a des accroissements stationnaires et indépendants.
De prime abord, il est clair que \(E(S_t)=0\) et \(Var(S_t ) = t\) ; ensuite, on prouve dans les deux prochains paragraphes la stationnarité et l’indépendance, que voici :
Il est évident qu’aussi bien \(S_t – S_n\) que \(S_{t –n}\) est la somme de \([t-n]\) v. a. i. i. d.; en conséquence, \(S_t – S_n\) a la même distribution que \(S_{t-n}\), ce qui vérifie la stationnarité du processus \(S_t\).
Indépendance :
Soit \(0 < i < j \leq n < t,\) on a alors :
\(S_t – S_n= (X_{n+1} + \ldots +X_t ),\)
\(S_j – S_i = (X_{i+1} + \ldots + X_j).\)
Il est clair que chaque accroissement \(S_t – S_n\) et \(S_j – S_i\) est la somme de v. a. distinctes i. i. d., alors ces accroissements sont indépendants.
Comme on vient de vérifier la stationnarité et l’indépendance des accroissements de \(S_t\), alors \(S_t \approx N(0,t)\) pour \(t \to \infty\), en vertu du théorème de la limite centrale.
Cependant, on veut qu’il y ait une convergence limite vers le mouvement brownien. À cet effet, on va construire un processus à temps continu à partir de la marche aléatoire à temps discret en faisant une interpolation linéaire entre les valeurs discrètes de t. Pour atteindre cet objectif, on fera une double mise à l’échelle dont la première est pour l’espace alors que la seconde est pour le temps, en considérant cette fois une nouvelle marche aléatoire sur
\[\displaystyle \frac {1}{\sqrt{n}} \mathbb{Z}\]
qui est :
\[\displaystyle S_{t}^{(n)} = \displaystyle\frac {1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{k} X_1,t = \frac{k}{n},\]
où \(k \in \mathbb{N}, n\) étant un entier fixé.
Les changements d’état se produisent maintenant à toutes les \(\Delta t = 1/n\) unité de temps en effectuant un pas de \(\pm \Delta x = \pm 1 \sqrt{n}\) unité de déplacement avec la même probabilité. Pour mieux comprendre la forme et la structure de \(S_{t}^{(n)}\), considérons :
\[\displaystyle S_{t}^{(n)} = \Delta xS_{t/\Delta t} = \Delta x (X_1 + \ldots + X_{t/\Delta t})\]
Un calcul simple donne \(E (S_{t}^{(\Delta x, \Delta t)}) = 0\) et \(Var (S_{t}^{(\Delta x, \Delta t)}) = (\Delta x)^2t/\Delta t\).
Par ailleurs, on sait que la variance du mouvement brownien à un certain point est égale à \(t\). Par conséquent, il faut que \((\Delta x)^2/\Delta t = 1\), ce qui implique que \(\Delta x = \sqrt{\Delta t}\). Alors \(\Delta t=1/n\) et \(\Delta x = 1 \sqrt{n}\), et on définit ainsi le processus en terme du paramètre \(n\).
Le processus stochastique issu de la marche aléatoire est discret à l’origine. Il convient maintenant de définir un processus à temps continu dont les trajectoires sont obtenues par interpolation linéaire entre les valeurs discrètes de \(t\), autrement dit, entre
\[\displaystyle \left ( \frac {k-1}{n}, S_{(k-1)/n}^{(n)} \right ) \text { et } \displaystyle \left ( \frac{k}{n}, S_{k/n}^{(n)} \right ). \]
Convergence vers le mouvement brownien
Dans le contexte que l’on vient d’élaborer \(S-{t}^{(n)}\) converge vers le mouvement brownien \[ \{W(t), t \geq 0 \}.\)
La prochaine et dernière section illustre graphiquement cette double mise à l’échelle.
Visualisation graphique de la convergence
- On a considéré au début de cette section \(\{X_i, i = 1, 2,\ldots,n\}\) des v.a.i.i.d. telles que \(P(X_i=1)= P(X_i=–1)= 1/2, i \in \mathbb{N}\), et\[\{S_0 =0,S_k =\displaystyle \sum_{i=1}^{k} X_i\},k=0,1,\ldots,n.\]On trace maintenant les points des couples \((k, S_k)\) et on les joint par des segments pour montrer ainsi l’interpolation linéaire. Notons que \(n\) est fixé.
- Dans cette deuxième étape, on fait une mise à l’échelle de l’axe vertical en considérant le facteur \(1/ \sqrt{n}\). On trace maintenant les points des couples \((k,S_k/\sqrt{n})\) et on les joint par des segments.
- Dans cette dernière étape, on fait une mise à l’échelle de l’axe horizontal en considérant le facteur \(1/n\), et on joint les points des couples \((k/n,S_k/\sqrt{n})\).
Pour \(n\) assez grand, on obtient une bonne approximation des trajectoires du mouvement brownien sur l’intervalle [0,1], d’ailleurs, le tout dernier graphique en bas de cette page en est une illustration pour \(n\) très grand.
Pour en s\(\alpha\)voir plus !
- BACHELIER, L. Théorie de la spéculation, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, 3e série, tome 17, 21-86, (1900). http://www.numdam.org/item/10.24033/asens.476.pdf
- DOOB, J. Stochastic Processes and Statistics, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, volume 20, 6, 376–379, (1934).
- ITÔ, K. On Stochastic Differential Equations, Memoirs of the American Mathematical Society, 4, 1-51, (1951). http://dx.doi.org/10.1090/memo/0004
- KHINTCHINE, A. Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse, Mathematische Annalen, volume 109, 1, 604–615, (1934).
- KOLMOGOROV, A. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Annalen, volume 104, 415–458, (1931).
- LÉVY, P. Sur certains processus stochastiques homogènes, Compositio Math., 7, 283-339, (1939).
- LÉVY, P. Processus stochastiques et mouvement brownien, Gauthier-Villars, (1948). Réédition en 1992 par Jacques Gabay.
- RIVET, J. P., BARBACHOUX, C., DEBBASCH, F. Le mouvement brownien : une trajectoire hors du commun, Bulletin de l’A.D.I.O.N., (1997).
https://www.oca.eu/images/LAGRANGE/pages_perso/rivet/pdf/1997_rbd97a_adion_roup.pdf
- Van Leeuwenhoek était un constructeur de microscopes de Delft, sa ville natale. Il construisit environ cinq cents « microscopes », avec lesquels il alla jusqu’à observer des bactéries vivantes. ↩
- Brief Account of Microscopical Observations Made in the Months of June, July and August, 1827, on the Particles Contained in the Pollen of Plants; and on the General Existence of Active Molecules in Organic and Inorganic Bodies. ↩
- Avant même que le mouvement brownien ne soit correctement décrit. ↩
- Movement in Clarkia pollen : A reprise of the first observations, The Microscope, 40, 4, 235- 241, 1992 / http://www.brianjford.com / ↩
- Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Sur le mouvement de petites particules en suspension dans un liquide au repos, prédit par la théorie cinétique moléculaire de la chaleur, Annalen der Physik, 322 (8): 549–560, 1905. ↩
