Section problèmes : volume 16.2

Euler et le problème de Bâle¹

Voici comment on peut démontrer l’identité \(\zeta(2) = \pi^2/6\) au moyen d’outils élémentaires.

1. Montrer l’identité trigonométrique
   \[\displaystyle \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \cos(kx)=\frac{\sin(nx+x/2)}{2\sin(x/2)},\]
   valable pour tout réel \(x\), avec la convention que le membre de droite est compris au sens de la limite lorsque le dénominateur s’annule.
   Suggestion : multiplier par \(\sin(x/2)\) et utiliser le fait que
   \[\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha-\beta)).\]
2. Multiplier par \(x^2 – 2\pi x\) de chaque côté de l’identité donnée en 1). Puis, intégrer de chaque côté sur l’intervalle \([0,\pi].\) Montrer, en intégrant par parties, que le membre de gauche vaut
   \[\displaystyle -\frac{\pi^3}{3}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2\pi}{k^2}.\]
3. Vérifier que le résultat suit si on peut montrer que l’intégrale du membre de droite tend vers 0 quand \(n\) tend vers l’infini.
4. Le membre de droite n’a pas de primitive élémentaire. Mais, poser
   \[\displaystyle u=\frac{x^2-2\pi x}{2 \sin (x/2)}, \\ v’= \sin \displaystyle \left ( nx+\frac{x}{2} \right ),\]
   et intéger une fois par parties. Voir que
   \[uv]_0^\pi= -\displaystyle \frac{2\pi}{n+1/2}.\]
   Dans la partie \(-\int_0^{\pi}u’v \, dx,\) voir que \(u’\) est bornée par une constante \(C\) (ce qui demande d’étudier la limite quand \(x\to 0\)) et que \(v\) est majorée par \(1/(n+1/2).\)

   En déduire que l’intégrale du membre de droite de l’identité trigonométrique de départ tend vers 0 quand \(n\to \infty.\)

Ordre et désordre

1. Quelle est la longueur minimale d’une suite croissante de cartes²? Montrer comment échanger des cartes de l’exemple de cet article pour créer une suite de longueur minimale.
2. Identifier les suites croissantes de cartes et leur nombre dans l’illustration ci-dessous.

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