• Accueil
  • À propos
  • Accrom\(\alpha\)th en PDF
  • Commanditaires
  • Contact
  • Contributions des lecteurs
  • Sites amis

Logo

Section problèmes : volume 16.2

Par Christian Genest et Nadia Lafrenière
Volume 16.2 - été-automne 2021

Euler et le problème de Bâle1

Voici comment on peut démontrer l’identité \(\zeta(2) = \pi^2/6\) au moyen d’outils élémentaires.

  1. Montrer l’identité trigonométrique
    \[\displaystyle \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \cos(kx)=\frac{\sin(nx+x/2)}{2\sin(x/2)},\]
    valable pour tout réel \(x\), avec la convention que le membre de droite est compris au sens de la limite lorsque le dénominateur s’annule.
    Suggestion : multiplier par \(\sin(x/2)\) et utiliser le fait que
    \[\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha-\beta)).\]
  2. Multiplier par \(x^2 – 2\pi x\) de chaque côté de l’identité donnée en 1). Puis, intégrer de chaque côté sur l’intervalle \([0,\pi].\) Montrer, en intégrant par parties, que le membre de gauche vaut
    \[\displaystyle -\frac{\pi^3}{3}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2\pi}{k^2}.\]
  3. Vérifier que le résultat suit si on peut montrer que l’intégrale du membre de droite tend vers 0 quand \(n\) tend vers l’infini.
  4. Le membre de droite n’a pas de primitive élémentaire. Mais, poser
    \[\displaystyle u=\frac{x^2-2\pi x}{2 \sin (x/2)}, \\ v’= \sin \displaystyle \left ( nx+\frac{x}{2} \right ),\]
    et intéger une fois par parties. Voir que
    \[uv]_0^\pi= -\displaystyle \frac{2\pi}{n+1/2}.\]
    Dans la partie \(-\int_0^{\pi}u’v \, dx,\) voir que \(u’\) est bornée par une constante \(C\) (ce qui demande d’étudier la limite quand \(x\to 0\)) et que \(v\) est majorée par \(1/(n+1/2).\)

    En déduire que l’intégrale du membre de droite de l’identité trigonométrique de départ tend vers 0 quand \(n\to \infty.\)

Ordre et désordre

  1. Quelle est la longueur minimale d’une suite croissante de cartes2? Montrer comment échanger des cartes de l’exemple de cet article pour créer une suite de longueur minimale.
  2. Identifier les suites croissantes de cartes et leur nombre dans l’illustration ci-dessous.

PDF

  1. Cette démonstration s’inspire de celle donnée par Samuel Moreno dans un article paru en 2016 dans « The College Mathematics Journal », vol. 47, no 2, pp. 134-135. ↩
  2. Une suite croissante est définie dans l’encadré « Algorithmes de mélange » de l’article « Ordre et désordre ») ↩
  • ● Version PDF
Partagez
  • tweet

Tags: Section problèmes

Articles récents

  • Le mouvement brownien : Du pollen de Brown à l’origine de la finance moderne

    Michel Adès, Matthieu Dufour, Steven Lu et Serge Provost
  • Le problème des \(N\) corps

    Christiane Rousseau
  • Comprendre la structure des nombres premiers

    Andrew Granville

Sur le même sujet

  • Section problèmes : vol. 18.1

    André Ross
  • Section problèmes : vol. 17.2

    André Ross
  • Section problèmes : vol. 17.1

    André Ross

    Auteurs

    • Michel Adès
    • Antoine Allard
    • Jean Aubin
    • Marie Beaulieu
    • Rosalie Bélanger-Rioux
    • Claude Bélisle
    • Marc Bergeron
    • Pierre Bernier
    • André Boileau
    • Véronique Boutet
    • Pietro-Luciano Buono
    • Massimo Caccia
    • Jérôme Camiré-Bernier
    • France Caron
    • Philippe Carphin
    • Kévin Cazelles
    • Laurent Charlin
    • Pierre Chastenay
    • Noémie Chenail
    • Jocelyn Dagenais
    • Marie-France Dallaire
    • Jean-Lou de Carufel
    • Jean-Marie De Koninck
    • Lambert De Monte
    • Jean-Paul Delahaye
    • Marc-André Desautels
    • Florin Diacu
    • Jimmy Dillies
    • Nicolas Doyon
    • Philippe Drobinski
    • Hugo Drouin-Vaillancourt
    • Louis J. Dubé
    • Thierry Duchesne
    • Matthieu Dufour
    • Stéphane Durand
    • Thomas Erneux
    • Philippe Etchécopar
    • Julien Fageot
    • Charles Fleurent
    • Jérôme Fortier
    • Marlène Frigon
    • Jean-François Gagnon
    • André Garon
    • Christian Genest
    • Denis Gilbert
    • Jonathan Godin
    • Frédéric Gourdeau
    • Samuel Goyette
    • Andrew Granville
    • Jean Guérin
    • Hervé Guillard
    • Abba B. Gumel
    • James A. Hanley
    • Alain Hertz
    • Bernard R. Hodgson
    • Isabelle Jalliffier-Verne
    • Guillaume Jouvet
    • Tomasz Kaczynski
    • Patrick Labelle
    • Marc Laforest
    • Nadia Lafrenière
    • Josiane Lajoie
    • Alexis Langlois-Rémillard
    • Simon-Olivier Laperrière
    • René Laprise
    • Steffen Lauritzen
    • Denis Lavigne
    • Adrien Lessard
    • Steven Lu
    • Jean Meunier
    • Erica Moodie
    • Normand Mousseau
    • Johanna G. Nešlehová
    • Pierre-André Noël
    • Dmitry Novikov
    • Ostap Okhrin
    • Laurent Pelletier
    • Jean-François Plante
    • Serge B. Provost
    • Annie Claude Prud'Homme
    • Benoît Rittaud
    • Louis-Paul Rivest
    • Serge Robert
    • André Ross
    • Christiane Rousseau
    • Guillaume Roy-Fortin
    • Yvan Saint-Aubin
    • Maria Vittoria Salvetti
    • Charles Senécal
    • Vasilisa Shramchenko
    • Robert Smith?
    • Anik Trahan
    • Shophika Vaithyanathasarma
    • William Verreault
    • Redouane Zazoun

Sujets

Algèbre Applications Applications des mathématiques Changements climatiques Climat Construction des mathématiques COVID-19 Cristallographie cryptographie GPS Gravité Géométrie Histoire des mathématiques Imagerie Infini Informatique Informatique théorique intelligence artificielle Jeux mathématiques Logique mathématique Lumière Mathématiques de la planète Terre Mathématiques et architecture mathématiques et art Mathématiques et arts Mathématiques et astronomie Mathématiques et biologie Mathématiques et développement durable Mathématiques et littérature Mathématiques et musique Mathématiques et médecine Mathématiques et physique Mathématiques et transport Modélisation Nombres Portrait d'un mathématicien Portrait d'un physicien Probabilités Probabilités et statistique Racines Rubrique des Paradoxes Section problèmes Théorie des groupes Éditorial Épidémiologie

© 2023 Accromath