• Accueil
  • À propos
  • Accrom\(\alpha\)th en PDF
  • Commanditaires
  • Contact
  • Contributions des lecteurs
  • Sites amis

Logo

Skupinový screening

Par Christiane Rousseau et Christian Genest
Journée internationale des mathématiques: Accromath multilingue

Skupinový screening je nezbytnou součástí boje proti šíření koronaviru. Jak ale čelit možnému nedostatku činidel a materiálu? Tím, že budeme provádět testy na bázi promíchání vzorků a že využijeme matematiku.

V obavách z druhé vlny COVID-19 souhlasí mnoho vědců s tím, že zavedení plánu testování ve velkém měřítku je nezbytné pro zastavení šíření koronaviru. Testy imunologické, serologické nebo k detekci antigenu vykonané na reprezentativních vzorcích populace by také umožnily odhadnout prevalenci nemoci, posoudit stupeň kolektivní imunity a přizpůsobit opatření k řešení pandemie.

Přístup k vhodným materiálním a personálním zdrojům je předpokladem k tomu, aby bylo zavedení strategie hromadného testování úspěšné. S rostoucí celosvětovou poptávkou je nedostatek činidel nezbytných k vykonání laboratorních testů na obzoru a vzbuzuje obavy orgánů ochrany veřejného zdraví v Kanadě i ve světě.

Jelikož víme, že většina testů je (naštěstí) negativní, mohlo by využítí matematiky přispět ke zlepšení aktuální situace? Ukazuje se, že ano, zejména tím, že budeme provádět skupinové testy na pečlivě sestavených směsích vzorků.

Skupinový screening

Představme si, že daná laboratoř obdržela 100 vzorků za účelem testování. Náhodně je rozdělí do pěti skupin po dvaceti. Poté v každé skupině použije polovinu každého z 20 vzorků na vytvoření směsi, kterou následně otestuje.

Jestliže je test vykonaný na dané směsi negativní, můžeme ihned vyvodit, že žádný člen dané skupiny není infikovaný. Jestliže je test pozitivní, provedou se následně jednotlivé testy na druhé polovině každého z 20 vzorků.

Pokud 100 původních vzorků pochází od zdravých jedinců, tento postup to potvrdí vykonáním 5 testů namísto 100. Jestliže je nakažen pouze jednen jedinec, postačí 5 + 20 = 25 testů k jeho identifikaci. V případě, že jsou nakažené 2 osoby, můžeme je také identifikovat 25 testy, pokud jsou ve stejné skupině; je ale třeba 5 + 20 + 20 = 45 testů, pokud patří do různých skupin. Stejným způsobem můžeme pokračovat v případě, že jsou nakažené tři nebo více osob.

Jak je vidět, skupinový screening umožňuje dosáhnout významných úspor, samozřejme za předpokladu, že citlivost a specifičnost testu nebude ovlivněna směsí vzorků, což předpokládáme v této studii a čemuž je tak velice často i v praxi.

Daná laboratoř by také mohla použít stejnou screeningovou strategii pro testování 10 skupin po 10 vzorcích. Pokud by byl nakažen jeden jedinec, bylo by k jeho identifikaci potřeba jen 20 testů. Na druhou stranu k tomu, aby se dospělo k závěru, že infikován nebyl nikdo, by bylo třeba 10 testů.

Která z těchto dvou strategií je lepší? A existují ještě i jiné, které by byly upřednostňované? Odpověď záleží na prevalenci nemoci neboli na podílu nakažených jedinců vzhledem k celkové populaci.

Jak v krátkém sdělení, publikovaném v roce 1943 v časopise The Annals of Mathematical Statistics, uvádí Američan Robert Dorfman, bylo skupinové testování ve své nejzákladnějsí formě použito již během druhé světové války, a to k detekci případů syfilisu mezi odvedenci. Tento přístup se prosadil a má dnes mnoho variant, které se používají především v Severní Americe k testování na přítomnost viru HIV, chřipky nebo západonilského viru.

Optimalizování algoritmu

Dorfman ukázal, jak určit optimální velikost skupiny na základě prevalence $p \in [0, 1]$ nemoci. Označme velikost skupiny $n ≥ 2$ a předpokládejme, že její členové tvoří náhodný výběr, tedy reprezentativní vzorek z populace. Provedeme jeden test na směsi všech vzorků a po případě následné testy na jednotlivých vzorcích.

Pokud $X$ označuje neznámý počet infikovaných osob ve skupině, pak má tato náhodná veličina binomické rozdělení1 s parametry $n$ a $p$, a tudíž

\[\text{Pr}(X=0)=(1–p)^n,\]

jelikož každý jedinec má pravděpodobnost $1–p$, že není nakažený. Z toho vyplývá, že

\[\text{Pr}(X>0)=1–\text{Pr}(X=0)=1–(1–p)^n.\]

Pokud je $X=0$, postačí pouze $N=1$ test. Pokud je však $X >0$, bude za potřebí provést $N=n+1$ testů. Průměrný počet provedených testů, koncept zvaný střední hodnota náhodné veličiny $N$ a značený $E(N)$, se rovná

\[\begin{array}{r c l}E(N) &=&1×\text{Pr}(X=0)+(n+1)×\text{Pr}(X>0) \\&=& n+1–n(1–p)^n.\end{array}\]

Tato funkce je rostoucí v $p$. Pokud $p=0$, máme $E(N) = 1$. To je zřejmé i z toho, že nemocný není nikdy nikdo, což se vždy potvrdí jediným testem. Jestliže $p=1$, máme $E(N)=n+1$, protože nakažení jsou všichni a tudíž bude první test bude nutně pozitivní.

Pro jakoukoli hodnotu $p \in [0, 1]$ je možné určit relativní náklady spojené s použitím skupinového screeningu tím, že budeme studovat chování poměru

\[E(N)/n=1+1/n–(1–p)^n\]

jako funkci proměnné $n$. Čím je $E(N)/n$ menší, tím víc se vyplatí používat testy skupinové, samozřemě za předpokladu, že poměr je menší než 1. Když $p = 0$, platí $E(N)/n=1/n$, a tudíž se vyplatí volit $n$ co největší. Když $p = 1$, máme vždy

\[E(N)/n=1+1/n>1\]

neboť skupinový test je vždy pozitivní, čímž ztrácí význam.

Křivka $100×E(N)/n$ jako funkce proměnné $n$ pro různé hodnoty p: 1% (černá), 2% (hnědá), 5% (oranžová), 8% (červená), 10% (modrá) a 15% (zelená).

Obrázek 1
Křivka $100×E(N)/n$ jako funkce proměnné $n$ pro různé hodnoty p: 1% (černá), 2% (hnědá), 5% (oranžová), 8% (červená), 10% (modrá) a 15% (zelená).

 

Při pevné hodnotě $p$ představuje funkce $100×E(N)/n$ průměrné procento testů provedených na skupině o velikosti $n$. Obrázek ukazuje graf této funkce pro různé hodnoty $p$, které odpovídají prevalenci 1% (černá), 2% (hnědá), 5% (oranžová), 8% (červená), 10% (modrá) a 15% (zelená). Jak je vidět, optimální velikost směsí, která odpovídá minimu křivky, se mění podle podílu $p$ infikovaných jedinců v populaci. Následující tabulka, kterou uvádí Dorfman, udává optimální velikost $n$ pro některé hodnoty $p$.

$p$ (%) $n$ Relativní náklady (%)
1 11 20
2 8 27
5 5 43
8 4 53
10 4 59
15 3 72

Zobecnění

Výše popsaný testovací protokol je příkladem adaptačního dvoukrokového algoritmu. Nazýváme jej adaptační, protože výběr (a tedy počet) testů, které mají být provedeny ve druhém kole testování, záleží na výsledku testu provedeném v prvním kole. Výkon algoritmu tohoto typu lze zlepšit několika způsoby, například tím, že zvýšíme počet fází.

Zde je klasický algoritmus, který budeme nazývat algoritmus binárního dělení a který má jisté optimální vlastnosti (viz obrázek 2).

a) Zvolíme celé číslo $n$ ve tvaru $n = 2^s$ a provedeme k fází testů, kde $k ≤s+1$.

b) V prvním kole otestujeme směs vzorků celé skupiny.

c) Jestliže je test pozitivní, rozdělíme skupinu na dvě podskupiny o $2^{s-1}$ vzorcích a otestujeme směs vzorků obou podskupin.

d) Takto budeme pokračovat až do etapy $k$, ve které jednotlivě otestujeme všechny členy podskupiny prohlášené za pozitivní v předchozím kole. V konkrétním případě $k=s+1$ má tato podskupina pouze dva členy.

Grafické znázornění adaptivního pětikrokového algoritmu binárního dělení, aplikovaného na skupinu o $n=2^4=16$ jedincích, z nichž pouze jeden je nakažený.

Obrázek 2
Grafické znázornění adaptivního pětikrokového algoritmu binárního dělení, aplikovaného na skupinu o $n=2^4=16$ jedincích, z nichž pouze jeden je nakažený.

 

Pokud je ve skupině pouze jeden infikovaný jedinec, najde jej tento algoritmus přesně ve $s+1=\log_2(n)+1$ krocích. Obecně platí, že čím vyšší je počet kroků, tím větší jsou úspory vzniklé tímto přístupem. Pokud ovšem průkaznost testu trvá 24 až 48 hodin, může být doba dodání výsledků tímto způsobem kontraproduktivní. Všimněme si také, že vylepšení výše uvedeným algoritmem i všemi níže uvedenými postupy vyžaduje objemné biologicé vzorky; budeme zde předpokládat, že jsou k dispozici.

Neadaptivní algoritmus

Za účelem lepší kontroly doby získání výsledků lze také zvážit použití neadaptivních metod při provádění skupinového screeningu. Tyto protokoly mají pouze jednu etapu, což umožňuje provádět všechny testy současně. Jsou také velmi efektivní při detekci případů, pokud máme k dispozici spolehlivý odhad prevalence onemocnění.

Pojďme si vysvětlit tento koncept na následujícím příkladu, který vyvinul rwandský tým vědců jako součást současného boje proti COVID-19. Nejprve náhodně vybereme $n = 3^m$ jedinců. Potom vytvoříme korespondenci mezi $3^m$ jednotlivci a body diskrétní hyperkrychle $\{0, 1, 2\}^m$. Viz obrázek 3 pro ilustraci v případě $m=3$.

Navrhovaný postup spočívá v simultánním provádění $3m$ testů na směsích, z nichž každá obsahuje vzorky od $3^{m-1}$ jedinců. Nicméně, směsi jsou vyrobeny podle přesných návodů, a to podle řezů hyperkrychle. Pokud označíme souřadnicové osy hyperkrychle $x_1,\ldots, x_m$, pak každá směs odpovídá $3^{m-1}$ jedincům umístěným v řezu hypekrychle nadrovinou $x_i=t$, kde $i\in \{1,\ldots,m\}$ a $t\in \{0,1,2\}$.

Obrázek 3 Diskétní hyperkrychle $\{0,1,2\}^3$. Každý bod mřížky odpovídá jednomu jednotlivci v náhodném výběru $n=3^3=27$ jedinců. Skupiny $3^2=9$ jednotlivců, z jejichž vzorků se vytváří jedna z $9$ti testovacích směsí, určují červené, modré a zelené řezy.

Obrázek 3
Diskétní hyperkrychle $\{0,1,2\}^3$. Každý bod mřížky odpovídá jednomu jednotlivci v náhodném výběru $n=3^3=27$ jedinců. Skupiny $3^2=9$ jednotlivců, z jejichž vzorků se vytváří jedna z $9$ti testovacích směsí, určují červené, modré a zelené řezy.

Když $m = 3$, jako na obrázku 3, pak provedeme $3 \times 3=9$ testů na skupinách po $3^2 = 9$ vzorcích. Když $m=4$, což je hodnota zvolená pro využití daného postupu v Rwandě, vykonáme 12 testů na základě náhodného výběru $n = 81$ jednotlivců. To znamená, že každý vzorek je rozdělen na čtyři stejné části a je využit ve čtyřech různých testech. Každý test je navíc proveden na směsi 27 vzorků.

Tento přístup je založen na technice konstrukce samoopravných kódů, popsané v rámečku2. Jednou z jeho velkých výhod je, že pokud je v náhodném výběru pouze jeden infikovaný jedinec, bude s jistotou identifikován. Pokud je však nakažena více než jedna osoba, je třeba provést druhé kolo testování.

Prozkoumejme rwandský příklad v případě náhodného výběru o velikosti $n = 81=3^4$. Protože má celkový počet $X$ infikovaných jedinců ve skupině binomické rozdělení s parametry $n=81$ a $p$, platí

\[\text{Pr}(X ≤1)=(1 – p)^{81}+81p(1–p)^{80}.\]

Tato strategie je zajímavá, pokud je velká pravděpodobnost, že $X ≤ 1$. Ovšem abychom měli napříkad $\text{Pr}(X ≤ 1) ≥ 0{,}95$, musí platit, že $p ≤ 0{,}44\%$; jinak řečeno, prevalence nemoci musí být nízká. Již při prevalenci 1 % máme $\text{Pr}(X ≤ 1) = 0{,}806$ a téměř ve 20 % případů bude nutné využít druhé kolo. Nicméně, pro prevalenci 1 % platí

\[\text{Pr}(X=2)=\pmatrix{81 \\ 2}p^2(1-p)^{79}=0{,}146,\]

a tedy $\text{Pr}(X ≤ 2) = 0{,}952$.

Náklady lze snadno udržet pod kontrolou, pokud chytře zvolíme způsob provedení druhého kola v případě, že je infikovaný více než jeden jedinec. Například všechny situace, ve kterých je $X = 2$, splňují následující vlastnost (viz obrázek 4, kde jsou v případě $m=3$ znázorněny řezy vedoucí k pozitivním směsím):

(P) Pro každou hodnotu $i \in \{1, \ldots, m\}$ existují maximálně dva řezy typu $x_i = s$ a $x_i = t$ vedoucí k pozitivnímu testu. Zároveň existuje alespoň jedna hodnota $i$, pro kterou máme přesně dva řezy tohoto typu vedoucí k pozitivnímu testu.

Diskrétní hyperkrychle $\{0, 1, 2\}^3$ a tři možnosti, kdy jsou ve výběru přesně dva infikovaní jedinci. Ti se nachází buď na jedné přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os (vlevo), nebo na protilehých vrcholech čtverce v rovině (střed), nebo na protilehých vrcholech krychle (vpravo). V každém z těchto případů znázorňují zvýrazněné řezy směsi vzorků, které mají pozitivní test. Při vyznačení řezů jsou použity stejné barvevné konvence jako na obrázku 3.

Obrázek 4
Diskrétní hyperkrychle $\{0, 1, 2\}^3$ a tři možnosti, kdy jsou ve výběru přesně dva infikovaní jedinci. Ti se nachází buď na jedné přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os (vlevo), nebo na protilehých vrcholech čtverce v rovině (střed), nebo na protilehých vrcholech krychle (vpravo). V každém z těchto případů znázorňují zvýrazněné řezy směsi vzorků, které mají pozitivní test. Při vyznačení řezů jsou použity stejné barvevné konvence jako na obrázku 3.

 

Pokud $k$ je počet hodnot $i \in \{1,\ldots,m\}$, pro které máme dva pozitivní testy typu upřesněném v (P), udává počet dalších testů potřebných k identifikaci všech infikovaných jedinců následující tabulka, jejíž konstrukce je popsána v La covid en 19 questions.

$k$ Počet dodatečných testů
1 0
2 4
3 8
4 16

 

Pokud vlastnost (P) neplatí, musí být otestováni všichni jedinci nacházející se v řezech, které vedly ke směsím s pozitivním testem. To znamená, že bude zapotřebí maximálně 81 dalších testů. Nakonec tedy relativní náklady nepřesáhnou 100 × 13,06/81 ≈ 16,1%.

Perspektivy

Hledání algoritmů uzpůsobených k boji proti koronaviru je v plném proudu. Jeden izraelský výzkumný tým například vyvinul a v laboratoři implementoval následující algoritmus, který spočívá v provedení 48 testů na náhodném výběru o velikosti 8 × 48 = 384. Každý jednotlivý vzorek je rozdělen na šest stejných částí. Každý z testů je proveden na směsi 48 těchto částí, z nichž každá patří jiné osobě. Každý vzorek každého jedince je proto přítomen v šesti různých testovacích směsích. Na přípravu 48 směsí byl v laboratoři naprogramován robot. Tento algoritmus dokáže jednoznačně identifikovat až 4 nakažené osoby. Potřebujeme tedy osmkrát méně testů než jednotlivců. Zopakujme tedy ještě jednou, že čím menší je procento infikovaných jedinců, tím lepší je výkonnost algoritmu.

Při vývoji statistického testu bereme samozřejmě v potaz i další úvahy. Pro zjednodušení jsme zde implicitně předpokládali, že použitý test je neomylný. V praxi mohou i ty nejlepší metody vést k falešně pozitivním nebo falešně negativním výsledkům. Citlivost a specifičnost testů jsou důležitými prvky, které je třeba vzít v úvahu při doporučení jejich implementace; důležitou roli hraje rovněž jejich proveditelnost z hlediska času, nákladů a složitosti manipulace.

Vytváření neadaptivního algoritmu

Pro testování skupiny lidí chceme vytvořit algoritmus neadaptivní. Tento algoritmus znázorníme tabulkou o $T$ řádcích a $n$ sloupcích, nebo ekvivalentně maticí o rozměrech $T × n$, jejíž všechny prvky jsou buď 0, nebo 1. V této matici představuje $i$-tý řádek $i$-tý test. Prvky rovné 1 v $j$-tém sloupci představují testy, kterých se účastní $j$-tý jedinec. To znamená, že $m_{ij} = 1$, pokud se $j$-tý jedinec podílí na $i$-tém testu, a $m_{ij} = 0$, pokud ne.

Vytvořme vektor $X$ o délce $n$ představující skupinu, kterou budeme testovat: jeho $i$-tá souřadnice, $x_i$, se rovná 1, jestliže je $i$-tý jednotlivec infikovaný, a 0, jestliže ne. Považujme $X$ za slovo délky $n$ a jeho pár souřadnic rovných 1 za chyby v počátečním slově $X_0$, jehož všechny souřadnice jsou nulové. Algoritmy samoopravných kódů umožňují opravit chyby, ke kterým mohlo dojít při přenosu $X_0$, což odpovídá identifikaci souřadnic $x_i$ vektoru $X$, které se rovnají 1, a to je přesně naším cílem. Obecně platí, že algoritmus samoopravaného kódu může opravit nanejvýš $k$ chyb, kde počet $k$ je předem zvolený při jeho konstrukci.

Matice $M$ je maticí kódu. Postačující vlastnost, aby kód opravil $k$ chyb, je ta, že matice je k-disjunktní. Pojďme definovat tento pojem. Následující situaci nechceme: jestliže jednotlivci $j_1, \ldots , j_k$ (ne nutně odlišní) jsou infikovaní, pak $j_{k+1}$-tý nakažený jedinec nebude odhalen. Vybrat sloupec $j$ (tj. jednotlivce $j$) je totéž jako vybrat podmnožinu $A_j$ čísel $\{1, \ldots , T\}$, která obsahuje souřadnice těch prvků $j$-tého sloupce, které se rovnají 1 (tj. indexy všech testů, na kterých se tento jedinec podílí). Pokud jsou jednotlivci $j_1, \ldots , j_k$ infikovaní, potom budou všechny testy odpovídající sjednocení $A_{j_1} \cup \cdots \cup A_{j_k}$ pozitivní. Aby $j_{k+1}$-tá infikovaná osoba nezůstala bez povšimnutí, $A_{j_{k+1}}$ nesmí být podmnožinou $A_{j_1} \cup \cdots \cup A_{j_k}$. Matice $M$ je k-disjunktní, jestliže toto platí pro všechny $j_1, \ldots, j_k$ a všechny $j_{k+1}$ odlišné od $j_1,\ldots,j_k$. Matice $12×81$ odpovídající výše uvedenému příkladu použitém ve Rwandě by byla maticí 1-disjunktní.

Existují dva hlavní typy metod pro konstrukci k–disjunktních matic. První je pravděpodobnostní: náhodně generujeme matice, jejichž prvky jsou 1 s pravděpodobností $q$ a 0 s pravděpodobností $1-q$. Pokud jsou $n$, $T$ a $k$ vhodně zvolené, pravděpodobnost, že matice je k-disjunkní, není nulová; metodou pokus-omyl proto nakonec vygenerujeme matici k-disjunktní.

Druhá, algebraická metoda je převzata z teorie Reedových-Solomonových samoopravných kódů. Tato teorie umožňuje vytvářet matice $M$, ve kterých mají všechny řádky stejný počet $m$ nenulových prvků a všechny sloupce mají stejný počet $c$ nenulových prvků. Všechny testy se tedy provádějí na podskupinách o velikosti $m$ a každý jednotlivý vzorek je rozdělen na $c$ částí, které jsou zahrnuty do $c$ různých testů.

PDF

  1. Jedná se o přibližnou hodnotu, která je opodstatněná, pokud je populace mnohem početnější než jednotlivé skupiny. ↩
  2. Viz také https://accromath.uqam.ca/wp-content/uploads/2020/02/Codes.pdf pro úvod k samoopravným kódům. ↩
  • ● Version PDF
Partagez
  • tweet

Tags: Applications des mathématiquesMathématiques et médecineCOVID-19

Articles récents

  • Statistique et santé publique

    André Ross
  • Modéliser le réchauffement climatique

    France Caron
  • Partage équitable bis

    Christiane Rousseau

Sur le même sujet

  • Modéliser le réchauffement climatique

    France Caron
  • Partage équitable bis

    Christiane Rousseau
  • Mappemondes vidéoludiques : entre design et topologie

    Alexandra Haedrich

Volumes

  • Journée internationale des mathématiques: Accromath multilingue
  • Volume 16.1 – hiver-printemps 2021
  • Volume 15.2 – été-automne 2020
  • Thème spécial: Les mathématiques sont partout
  • Volume 15.1 – hiver-printemps 2020
  • Volume 14.2 – été-automne 2019
  • Volume 14.1 – hiver-printemps 2019
  • Volume 13.2 – été-automne 2018
  • Volume 13.1 – hiver-printemps 2018
  • Volume 12.2 – été-automne 2017
  • Volume 12.1 – hiver-printemps 2017
  • Volume 11.2 – été-automne 2016
  • Volume 11.1 – hiver-printemps 2016
  • Volume 10.2 – été-automne 2015
  • Volume 10.1 – hiver-printemps 2015
  • Volume 9.2 – été-automne 2014
  • Volume 9.1 – hiver-printemps 2014
  • Volume 8.2 – été-automne 2013
  • Volume 8.1 – hiver-printemps 2013
  • Volume 7.2 – été-automne 2012
  • Volume 7.1 – hiver-printemps 2012
  • Volume 6.2 – été-automne 2011
  • Volume 6.1 – hiver-printemps 2011
  • Volume 5.2 – été-automne 2010
  • Volume 5.1 – hiver-printemps 2010
  • Volume 4.2 – été-automne 2009
  • Volume 4.1 – hiver-printemps 2009
  • Volume 3.2 – été-automne 2008
  • Volume 3.1 – hiver-printemps 2008
  • Volume 2.2 – été-automne 2007
  • Volume 2.1 – hiver-printemps 2007
  • Volume 1 – été-automne 2006
  • Article vedette

    Auteurs

    • Michel Adès
    • Antoine Allard
    • Jean Aubin
    • Marie Beaulieu
    • Rosalie Bélanger-Rioux
    • Claude Bélisle
    • Marc Bergeron
    • Pierre Bernier
    • André Boileau
    • Véronique Boutet
    • Pietro-Luciano Buono
    • Massimo Caccia
    • Jérôme Camiré-Bernier
    • France Caron
    • Philippe Carphin
    • Kévin Cazelles
    • Laurent Charlin
    • Pierre Chastenay
    • Jocelyn Dagenais
    • Marie-France Dallaire
    • Jean-Lou de Carufel
    • Jean-Marie De Koninck
    • Lambert De Monte
    • Jean-Paul Delahaye
    • Marc-André Desautels
    • Florin Diacu
    • Jimmy Dillies
    • Nicolas Doyon
    • Philippe Drobinski
    • Hugo Drouin-Vaillancourt
    • Louis J. Dubé
    • Thierry Duchesne
    • Stéphane Durand
    • Thomas Erneux
    • Philippe Etchécopar
    • Charles Fleurent
    • Jérôme Fortier
    • Marlène Frigon
    • Jean-François Gagnon
    • André Garon
    • Christian Genest
    • Denis Gilbert
    • Jonathan Godin
    • Frédéric Gourdeau
    • Samuel Goyette
    • Jean Guérin
    • Hervé Guillard
    • Abba B. Gumel
    • James A. Hanley
    • Alain Hertz
    • Bernard R. Hodgson
    • Isabelle Jalliffier-Verne
    • Guillaume Jouvet
    • Tomasz Kaczynski
    • Patrick Labelle
    • Marc Laforest
    • Josiane Lajoie
    • Alexis Langlois-Rémillard
    • René Laprise
    • Steffen Lauritzen
    • Denis Lavigne
    • Adrien Lessard
    • Jean Meunier
    • Normand Mousseau
    • Johanna G. Nešlehová
    • Pierre-André Noël
    • Dmitry Novikov
    • Ostap Okhrin
    • Laurent Pelletier
    • Jean-François Plante
    • Annie Claude Prud'Homme
    • Benoît Rittaud
    • Louis-Paul Rivest
    • Serge Robert
    • André Ross
    • Christiane Rousseau
    • Guillaume Roy-Fortin
    • Yvan Saint-Aubin
    • Maria Vittoria Salvetti
    • Vasilisa Shramchenko
    • Robert Smith?
    • William Verreault
    • Redouane Zazoun

Sujets

Algèbre Applications Applications des mathématiques Changements climatiques Chaos Construction des mathématiques COVID-19 Cristallographie cryptographie Dimension 4 Fractales GPS Gravité Géométrie Histoire des mathématiques Imagerie Infini Informatique Informatique théorique Jeux mathématiques Logique mathématique Lumière Mathématiques de la planète Terre Mathématiques et architecture Mathématiques et arts Mathématiques et astronomie Mathématiques et biologie Mathématiques et développement durable Mathématiques et littérature Mathématiques et médecine Mathématiques et physique Mathématiques et transport Miroirs Nombres Pavages Portrait d'un mathématicien Portrait d'un physicien Probabilités Probabilités et statistique Racines Rubrique des Paradoxes Section problèmes Théorie des noeuds Éditorial Épidémiologie

© 2021 Accromath