Skupinový screening je nezbytnou součástí boje proti šíření koronaviru. Jak ale čelit možnému nedostatku činidel a materiálu? Tím, že budeme provádět testy na bázi promíchání vzorků a že využijeme matematiku.

V obavách z druhé vlny COVID-19 souhlasí mnoho vědců s tím, že zavedení plánu testování ve velkém měřítku je nezbytné pro zastavení šíření koronaviru. Testy imunologické, sérologické nebo k detekci antigenu vykonané na reprezentativních vzorcích populace by také umožnily odhadnout prevalenci nemoci, posoudit stupeň kolektivní imunity a přizpůsobit opatření k řešení pandemie.

Přístup k vhodným materiálním a personálním zdrojům je předpokladem k tomu, aby bylo zavedení strategie hromadného testování úspěšné. S rostoucí celosvětovou poptávkou je nedostatek činidel nezbytných k vykonání laboratorních testů na obzoru a vzbuzuje obavy orgánů ochrany veřejného zdraví v Kanadě i ve světě.

Jelikož víme, že většina testů je (naštěstí) negativní, mohlo by využítí matematiky přispět ke zlepšení aktuální situace? Ukazuje se, že ano, zejména tím, že budeme provádět skupinové testy na pečlivě sestavených směsích vzorků.

Skupinový screening

Představme si, že daná laboratoř obdržela 100 vzorků za účelem testování. Náhodně je rozdělí do pěti skupin po dvaceti. Poté v každé skupině použije polovinu každého z 20 vzorků na vytvoření směsi, kterou následně otestuje.

Jestliže je test vykonaný na dané směsi negativní, můžeme ihned vyvodit, že žádný člen dané skupiny není infikovaný. Jestliže je test pozitivní, provedou se následně jednotlivé testy na druhé polovině každého z 20 vzorků.

Pokud 100 původních vzorků pochází od zdravých jedinců, tento postup to potvrdí vykonáním 5 testů namísto 100. Jestliže je nakažen pouze jeden jedinec, postačí 5 + 20 = 25 testů k jeho identifikaci. V případě, že jsou nakažené 2 osoby, můžeme je také identifikovat 25 testy, pokud jsou ve stejné skupině; je ale třeba 5 + 20 + 20 = 45 testů, pokud patří do různých skupin. Stejným způsobem můžeme pokračovat v případě, že jsou nakažené tři nebo více osob.

Jak je vidět, skupinový screening umožňuje dosáhnout významných úspor, samozřejmě za předpokladu, že senzitivita a specificita testu nebude ovlivněna směsí vzorků, což předpokládáme v této studii a čemuž je tak velice často i v praxi.

Daná laboratoř by také mohla použít stejnou screeningovou strategii pro testování 10 skupin po 10 vzorcích. Pokud by byl nakažen jeden jedinec, bylo by k jeho identifikaci potřeba jen 20 testů. Na druhou stranu k tomu, aby se dospělo k závěru, že infikován nebyl nikdo, by bylo třeba 10 testů.

Která z těchto dvou strategií je lepší? A existují ještě i jiné, které by byly upřednostňované? Odpověď záleží na prevalenci nemoci neboli na podílu nakažených jedinců vzhledem k celkové populaci.

Jak v krátkém sdělení, publikovaném v roce 1943 v časopise The Annals of Mathematical Statistics, uvádí Američan Robert Dorfman, bylo skupinové testování ve své nejzákladnější formě použito již během druhé světové války, a to k detekci případů syfilidy mezi odvedenci. Tento přístup se prosadil a má dnes mnoho variant, které se používají především v Severní Americe k testování na přítomnost viru HIV, chřipky nebo západonilského viru.

Optimalizování algoritmu

Dorfman ukázal, jak určit optimální velikost skupiny na základě prevalence $p \in [0, 1]$ nemoci. Označme velikost skupiny $n ≥ 2$ a předpokládejme, že její členové tvoří náhodný výběr, tedy že jsou vzájemně nezávislí a představují reprezentativní vzorek z populace. Provedeme jeden test na směsi všech vzorků a popřípadě následné testy na jednotlivých vzorcích.

Pokud $X$ označuje neznámý počet infikovaných osob ve skupině, pak má tato náhodná veličina binomické rozdělení¹ s parametry $n$ a $p$, a tudíž

\[\text{Pr}(X=0)=(1–p)^n,\]

jelikož každý jedinec má pravděpodobnost $1–p$, že není nakažený. Z toho vyplývá, že

\[\text{Pr}(X>0)=1–\text{Pr}(X=0)=1–(1–p)^n.\]

Pokud je $X=0$, postačí pouze $N=1$ test. Pokud je však $X >0$, bude zapotřebí provést $N=n+1$ testů. Průměrný počet provedených testů, koncept zvaný střední hodnota náhodné veličiny $N$ a značený $E(N)$, se rovná

\[\begin{array}{r c l}E(N) &=&1×\text{Pr}(X=0)+(n+1)×\text{Pr}(X>0) \\&=& n+1–n(1–p)^n.\end{array}\]

Tato funkce je rostoucí v proměnné $p$. Pokud $p=0$, máme $E(N) = 1$. To je zřejmé i z toho, že nemocný není nikdy nikdo, což se vždy potvrdí jediným testem. Jestliže $p=1$, máme $E(N)=n+1$, protože nakažení jsou všichni a tudíž první test bude nutně pozitivní.

Pro jakoukoli hodnotu $p \in [0, 1]$ je možné určit relativní náklady spojené s použitím skupinového screeningu tím, že budeme studovat chování poměru

\[E(N)/n=1+1/n–(1–p)^n\]

jako funkci proměnné $n$. Čím je $E(N)/n$ menší, tím víc se vyplatí používat testy skupinové, samozřejmě za předpokladu, že poměr je menší než 1. Když $p = 0$, platí $E(N)/n=1/n$, a tudíž se vyplatí volit $n$ co největší. Když $p = 1$, máme vždy

\[E(N)/n=1+1/n>1\]

neboť skupinový test je vždy pozitivní, čímž ztrácí význam.

Obrázek 1
Křivka $100×E(N)/n$ jako funkce proměnné $n$ pro různé hodnoty $p$: 1% (černá), 2% (hnědá), 5% (oranžová), 8% (červená), 10% (modrá) a 15% (zelená).

Při pevné hodnotě $p$ představuje funkce $100×E(N)/n$ průměrné procento testů provedených na skupině o velikosti $n$. Obrázek ukazuje graf této funkce pro různé hodnoty $p$, které odpovídají prevalenci 1% (černá), 2% (hnědá), 5% (oranžová), 8% (červená), 10% (modrá) a 15% (zelená). Jak je vidět, optimální velikost směsí, která odpovídá minimu křivky, se mění podle podílu $p$ infikovaných jedinců v populaci. Následující tabulka, kterou uvádí Dorfman, udává optimální velikost $n$ pro některé hodnoty $p$.

Zobecnění

Výše popsaný testovací protokol je příkladem adaptivního dvoukrokového algoritmu. Nazýváme jej adaptivní, protože výběr (a tedy počet) testů, které mají být provedeny ve druhém kole testování, záleží na výsledku testu provedeného v prvním kole. Výkon algoritmu tohoto typu lze zlepšit několika způsoby, například tím, že zvýšíme počet fází.

Zde je klasický algoritmus, který budeme nazývat algoritmus binárního dělení a který má jisté optimální vlastnosti (viz obrázek 2).

a) Zvolíme celé číslo $n$ ve tvaru $n = 2^s$ a provedeme $k$ fází testů, kde $k ≤ s+1$.

b) V prvním kole otestujeme směs vzorků celé skupiny.

c) Jestliže je test pozitivní, rozdělíme skupinu na dvě podskupiny o $2^{s-1}$ vzorcích a otestujeme směs vzorků obou podskupin.

d) Takto budeme pokračovat až do etapy $k$, ve které jednotlivě otestujeme všechny členy podskupiny prohlášené za pozitivní v předchozím kole. V konkrétním případě $k=s+1$ má tato podskupina pouze dva členy.

Obrázek 2
Grafické znázornění adaptivního pětikrokového algoritmu binárního dělení, aplikovaného na skupinu o $n=2^4=16$ jedincích, z nichž pouze jeden je nakažený.

Pokud je ve skupině pouze jeden infikovaný jedinec, najde jej tento algoritmus přesně v $s+1=\log_2(n)+1$ krocích. Obecně platí, že čím vyšší je počet kroků, tím větší jsou úspory vzniklé tímto přístupem. Pokud ovšem vyhodnocení testu trvá 24 až 48 hodin, může být doba získání výsledků tímto způsobem kontraproduktivní. Všimněme si také, že vylepšení výše uvedeným algoritmem i všemi níže uvedenými postupy vyžaduje objemné biologické vzorky; budeme zde předpokládat, že jsou k dispozici.

Neadaptivní algoritmus

Za účelem lepší kontroly doby získání výsledků lze také zvážit použití neadaptivních metod při provádění skupinového screeningu. Tyto protokoly mají pouze jednu etapu, což umožňuje provádět všechny testy současně. Jsou také velmi efektivní při detekci případů, pokud máme k dispozici spolehlivý odhad prevalence onemocnění.

Pojďme si vysvětlit tento koncept na následujícím příkladu, který vyvinul rwandský tým vědců jako součást současného boje proti COVID-19. Nejprve náhodně vybereme $n = 3^m$ jedinců. Potom vytvoříme korespondenci mezi $3^m$ jednotlivci a body diskrétní hyperkrychle $\{0, 1, 2\}^m$, viz obrázek 3 pro ilustraci v případě $m=3$.

Navrhovaný postup spočívá v simultánním provádění $3m$ testů na směsích, z nichž každá obsahuje vzorky $3^{m-1}$ jedinců. Nicméně směsi jsou vyrobeny podle přesných návodů, a to podle řezů hyperkrychle. Pokud označíme souřadnicové osy hyperkrychle $x_1, \ldots, x_m$, pak každá směs odpovídá $3^{m-1}$ jedincům umístěným v řezu hypekrychle nadrovinou $x_i = t$, kde $i \in \{1, \ldots, m\}$ a $t \in \{0,1,2\}$.

Obrázek 3
Diskrétní hyperkrychle $\{0,1,2\}^3$. Každý bod mřížky odpovídá jednomu jednotlivci v náhodném výběru $n=3^3=27$ jedinců. Skupiny $3^2=9$ jednotlivců, z jejichž vzorků se vytváří jedna z $9$ti testovacích směsí, určují červené, modré a zelené řezy.

Pokud $m = 3$ jako na obrázku 3, pak provedeme $3 \times 3=9$ testů na skupinách po $3^2 = 9$ vzorcích. Když $m=4$, což je hodnota zvolená pro využití daného postupu ve Rwandě, vykonáme 12 testů na základě náhodného výběru $n = 81$ jednotlivců. To znamená, že každý vzorek je rozdělen na čtyři stejné části a je využit ve čtyřech různých testech. Každý test je navíc proveden na směsi 27 vzorků.

Tento přístup je založen na technice konstrukce samoopravných kódů, popsané v rámečku². Jednou z jeho velkých výhod je, že pokud je v náhodném výběru pouze jeden infikovaný jedinec, bude s jistotou identifikován. Pokud je však nakažena více než jedna osoba, je třeba provést druhé kolo testování.

Prozkoumejme rwandský příklad v případě náhodného výběru o velikosti $n = 81=3^4$. Protože má celkový počet $X$ infikovaných jedinců ve skupině binomické rozdělení s parametry $n=81$ a $p$, platí

\[\text{Pr}(X ≤1)=(1 – p)^{81}+81p(1–p)^{80}.\]

Tato strategie je zajímavá, pokud je velká pravděpodobnost, že $X ≤ 1$. Abychom měli napříkad $\text{Pr}(X ≤ 1) ≥ 0{,}95$, musí ovšem platit, že $p ≤ 0{,}44\%$; jinak řečeno, prevalence nemoci musí být nízká. Již při prevalenci 1 % máme $\text{Pr}(X ≤ 1) = 0{,}806$ a téměř ve 20 % případů bude nutné využít druhé kolo. Nicméně, pro prevalenci 1 % platí

\[\text{Pr}(X=2)=\pmatrix{81 \\ 2}p^2(1-p)^{79}=0{,}146,\]

a tedy $\text{Pr}(X ≤ 2) = 0{,}952$.

Náklady lze snadno udržet pod kontrolou, pokud chytře zvolíme způsob provedení druhého kola v případě, že je infikovaný více než jeden jedinec. Například všechny situace, ve kterých je $X = 2$, splňují následující podmínku (viz obrázek 4, kde jsou v případě $m=3$ znázorněny řezy vedoucí k pozitivním směsím):

(P) Pro každou hodnotu $i \in \{1, \ldots, m\}$ existují maximálně dva řezy typu $x_i = s$ a $x_i = t$ vedoucí k pozitivnímu testu. Zároveň existuje alespoň jedna hodnota $i$, pro kterou máme přesně dva řezy tohoto typu vedoucí k pozitivnímu testu.

Obrázek 4
Diskrétní hyperkrychle $\{0, 1, 2\}^3$ a tři možnosti, kdy jsou ve výběru přesně dva infikovaní jedinci. Ti se nachází buď na jedné přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os (vlevo), nebo na protilehých vrcholech čtverce v rovině (střed), nebo na protilehých vrcholech krychle (vpravo). V každém z těchto případů znázorňují zvýrazněné řezy směsi vzorků, které mají pozitivní test. Při vyznačení řezů jsou použity stejné barvevné konvence jako na obrázku 3.

Pokud $k$ je počet hodnot $i \in \{1, \ldots, m\}$, pro které máme dva pozitivní testy typu upřesněného v (P), udává počet dalších testů potřebných k identifikaci všech infikovaných jedinců následující tabulka, jejíž konstrukce je popsána v La covid en 19 questions.

Pokud podmínka (P) neplatí, musí být otestováni všichni jedinci nacházející se v řezech, které vedly ke směsím s pozitivním testem. To znamená, že bude zapotřebí maximálně 81 dalších testů. Výčtem všech možných případů můžeme spočítat, že střední hodnota relativních nákladů se rovná 100 × 17/81 ≈ 21%.

Perspektivy

Hledání algoritmů uzpůsobených k boji proti koronaviru je v plném proudu. Jeden izraelský výzkumný tým například vyvinul a v laboratoři implementoval následující algoritmus, který spočívá v provedení 48 testů na náhodném výběru o velikosti 8 × 48 = 384. Každý jednotlivý vzorek je rozdělen na šest stejných částí. Každý z testů je proveden na směsi 48 těchto částí, z nichž každá patří jiné osobě. Každý vzorek každého jedince je proto přítomen v šesti různých testovacích směsích. Na přípravu 48 směsí byl v laboratoři naprogramován robot. Tento algoritmus dokáže jednoznačně identifikovat až 4 nakažené osoby. Potřebujeme tedy osmkrát méně testů než jednotlivců. Zopakujme tedy ještě jednou, že čím menší je procento infikovaných jedinců, tím lepší je výkonnost algoritmu.

Při vývoji algoritmu pro testování bereme samozřejmě v potaz i další skutečnosti. Pro zjednodušení jsme zde implicitně předpokládali, že použitý test je neomylný. V praxi mohou i ty nejlepší metody vést k falešně pozitivním nebo falešně negativním výsledkům. Senzitivita a specificita testů jsou důležitými prvky, které je třeba vzít v úvahu při doporučení jejich implementace; důležitou roli hraje rovněž jejich proveditelnost z hlediska času, nákladů a složitosti manipulace.

PDF