Il tracciamento massiccio è un elemento essenziale della lotta contro la propagazione del coronavirus. Ma come far fronte a una possibile penuria di reagenti e di materiale? Operando i test su miscele di prelievi e facendo appello alla matematica.

Con il timore anticipato di una seconda ondata di COVID-19, numerosi esperti sono concordi nel dire che l’instaurazione di un piano di tracciamento su grande scala è necessario per arrestare la propagazione del coronavirus. Realizzati su campioni rappresentativi della popolazione, i test immunologici, sierologici o antigenici permetterebbero anche di stimare la diffusione della malattia, di giudicare il grado d’immunità collettiva e di adattare i mezzi di gestione della pandemia.

Perché sia coronata da successo, il varo di una strategia di tracciamento presuppone l’accesso a risorse adeguate di personale e risorse. Con la crescita della richiesta a livello planetario si profila all’orizzonte una penuria dei reagenti necessari alle analisi di laboratorio; questa resta una preoccupazione delle autorità della sanità pubblica in Canadà e nel resto del mondo.

Sapendo che la maggior parte dei test si rivelano (molto fortunatamente) negativi, si può mettere a profitto la matematica per fare meglio? Sí, si può, segnatamente realizzando test di gruppo su miscele di prelievi costruiti in maniera giudiziosa.

Il tracciamento per gruppi

Immaginiamo che un laboratorio abbia ricevuto 100 prelievi per il tracciamento. Li divide a caso in 5 gruppi di 20 ciascuno. Poi, gruppo per gruppo, utilizza la metà di ciascuno dei 20 prelievi per costituire una miscela alla quale si applica il test.

Se il test effettuato su una miscela è negativo si può subito concludere che nessun membro del gruppo interessato è infetto. Se il test è invece positivo, allora si procede a test individuali sulla seconda metà di ognuno dei 20 prelievi.

Se i 100 prelievi originali provengono tutti da persone sane, questa procedura permette d’accertarsene facendo 5 test invece di 100. Se un solo individuo è infetto, bastano 5+20=25 test per individuarlo. Se sono infettate due persone, le si possono individuare ancora con 25 test se sono nello stesso gruppo, ma ne occorrono 5+20+20=45 se appartengono a gruppi differenti. E cosí via se vi sono tre o piú persone infette.

Come si può constatare, il tracciamento per gruppi permette dunque di realizzare economie importanti, purché la sensibilità e la specificità del test non siano modificate dalla miscela, come si è supposto qui e come è spesso il caso in pratica.

Il laboratorio avrebbe anche potuto applicare la stessa strategia di tracciamento a 10 gruppi di 10 prelievi. Se un solo individuo è infettato, non vi sarebbe stato allora bisogno che di 20 test per identificarlo. In cambio, sarebbero stati necessari 10 test per concludere che nessuno è infetto.
Quale di queste due strategie è migliore? E ne esistono altre che siano preferibili a queste? La risposta dipende dalla prevalenza della malattia, cioè dalla proporzione della popolazione che è infetta.

In una nota apparsa nel 1943 in The Annals of Mathematical Statistics, l’americano Robert Dorfman riporta che, nella sua forma piú elementare, il rintracciamento per gruppi era già stato usato nella Seconda Guerra mondiale per individuare i casi di sifilide tra i coscritti. Quest’approccio si è affermato e ne esistono oggi molte varianti che sono utilizzate dovunque in Nord America per controllare la presenza dell’HIV, dell’influenza, o del Virus del Nilo occidentale

Ottimizzare l’algoritmo

Dorfman ha mostrato come determinare la numerosità ottimale di un gruppo in funzione della prevalenza $p \in [0,1]$ della malattia. Indichiamo con $n ≥ 2$ la numerosità del gruppo e supponiamo che i suoi membri costituiscano un campione aleatorio rappresentativo della popolazione.

Se $X$ denota il numero sconosciuto di persone infette nel gruppo, questa variabile obbedisce a una legge binomiale¹ di parametri $n$ e $p$, donde

\[\text{Pr}(X=0)=(1–p)^n,\]

Poiché ogni individuo ha probabilità $1 – p$ d’essere sano, e

\[\text{Pr}(X>0)=1–\text{Pr}(X=0)=1–(1–p)^n\]

Se $X=0$, non si faranno allora che $N=1$ test. Tuttavia se $X >0$, si faranno $N=n+1$ test. In media, il numero di test che saranno effettuati, chiamato speranza di $N$ e denotato con $E(N)$ è eguale a

\[\begin{array}{r c l}E(N) &=&1×\text{Pr}(X=0)+(n+1)×\text{Pr}(X>0) \\&=& n+1–n(1–p)^n.\end{array}\]

Questa è una funzione crescente di $p$. Se $p=0$, si ha $E(N)=1$, ciò che è evidente perché nessuno ha la malattia e dunque un solo test basta per confermarlo. Se $p=1$, si ha $E(N)=n+1$ perché il primo test sarà necessariamente positivo.

Per ogni valore di $p \in [0, 1]$, è possibile determinare il costo relativo legato all’uso del tracciamento per gruppi studiando il comportamento del rapporto

\[E(N)/n=1+1/n–(1–p)^n.\]

in funzione di $n$. Piú $E(N)/n$ è piccolo, piú conviene ricorrere ai test per gruppo, naturalmente a condizione che il rapporto sia inferiore a 1. Quando $p=0$, si trova $E(N)/n=1/n$, di modo che si ha interesse a prendere $n$ piú grande possibile. Quando $p=1$, si ha sempre

\[E(N)/n=1+1/n>1\]

perché il test sul gruppo è sempre positivo dunque e non fa quindi che aggiungere altri test.

Figura 1
Tracciato della curva $100×E(N)/n$ in funzione di $n$ per diversi valori di $p$: 1% (nero), 2% (marrone), 5% (arancio), 8% (rosso), 10% (blu) e 15% (verde).

Per un valore fissato di $p$, la funzione $100×E(N)/n$ rappresenta la percentuale media di test effettuati in funzione della numerosità, $n$, del gruppo. La figura mostra il grafico di questa funzione per diversi valori di $p$, corrispondenti a una prevalenza dell’1% (nero), 2% (marrone), 5% (arancio), 8% (rosso),10% (blu) e 15% (verde). Come si può vedere, la numerosità ottimale dipende dalla miscela, che corrisponde al minimo della curva, varia in funzione della proporzione, $p$, degli individui infetti nella popolazione. La tabella qui accanto, riportata da Dorfman, dà la scelta ottimale di $n$ per qualche valore di $p$.

Generalizzazioni

Il protocollo di test descritto sopra è l’esempio di algoritmo adattativo a due passi. Lo si dice adattativo perché la scelta (e dunque il numero) dei test da effettuare nella seconda tappa dipende dal risultato del test realizzato al primo passo. Esistono diversi modi di migliorare il successo di questo tipo di algoritmo. In particolare la procedura può essere estesa aumentando il numero di passi.

Ecco un algoritmo classico, che chiameremo algoritmo di divisione binaria, e che possiede certe proprietà d’ottimalità (si veda la figura 2)

a) Si prende un intero $n$ della forma $ n = 2^s$ e si effettuano k giri del test, ove $k≤s+1$.

b) Al primo passo si effettua un test della miscela dei prelievi di tutto il gruppo.

c) Se il test risulta positivo, si divide allora il gruppo in due sottogruppi di $2^{s-1}$ prelievi e si effettua un test su ognuno di essi.

d) Si procede nello stesso modo sino al $k$-esimo passo, al quale si effettua il test sui membri di un sottogruppo dichiarato positivo al passo precedente. Nel caso particolare $k=s+1$, questo sottogruppo ha solo due elementi.

Figura 2
Rappresentazione grafica di un algoritmo di divisione binaria adattivo a 5 giri applicato ad un prelievo iniziale di $n = 2^4 = 16$ prelievi, di cui solo uno è infetto.

Se il gruppo contiene un solo individuo infetto, questo algoritmo premetterà di identificarlo in esattamente $s+1=\log_2(n)+1$ passi. Come regola generale, piú alto è il numero di passi, migliori sono le economie realizzate tramite questo approccio. Ma bisogna attendere da 24 a 48 ore perché il test dia il risultato; i ritardi nella consegna dei risultati rischiano di essere controproducenti. Si noti anche che questa miglioria richiede prelievi biologici piú importanti. Questo non è considerato veramente un problema e lo si ritroverà in tutti gli algoritmi presentati di seguito.

Un algoritmo non adattativo

Per controllare meglio il tempo di risposta, si può anche pensare di utilizzare metodi non adattativi di tracciamento per gruppi. Questi protocolli comportano un solo passo, ciò che permette di effettuare tutti i test simultaneamente. Essi si rivelano inoltre molto efficaci per il tracciamento dei casi se si dispone di una stima affidabile della prevalenza della malattia.

Spieghiamo questo concetto mediante il seguente esempio, sviluppato da un gruppo di ricercatori ruandese nel quadro della lotta attuale al COVID-19. Si forma dapprima un campione aleatorio di numerosità $n = 3^m$. Si stabilisce quindi una corrispondenza tra i $3^m$ individui e i punti di un ipercubo discreto $\{0, 1, 2\}^m$. Si veda la figura per un esempio nel caso $m = 3$.

L’approccio proposto consiste allora nell’effettuare contemporaneamente $3m$ test su miscele di campioni che comprendono ognuna $3^{m-1}$ individui. Le miscele sono tuttavia formate secondo modalità molto precise, ossia dei tagli nell’ipercubo. In effetti, se $x_1,\ldots,x_m $ denotano gli assi coordinati dell’ipercubo, allora ogni miscela corrisponde agli individui situati nell’iperpiano $x_i=t$, ove $i\in \{1,\ldots,m\}$ e $t\in \{0,1,2\}$ è una tranche di $3^{m-1}$ individui.

Figura 3
Ipercubo discreto $\{0,1,2\}^3$. Ogni punto del reticolo corrisponde ad un individuo di un campione casuale di dimensioni $n=3^3=27$. Gli individui $3^2=9$ di ciascuna delle 9 miscele si trovano lungo una fetta rossa, blu o verde.

Quando $m = 3$, come nella figura 3, si effettuano allora $3×3=9$ test su gruppi di $3^2 = 9$ individui. Quando $m = 4$, che è il valore riportato nel caso del Ruanda, si effettuano piuttosto 12 test a partire da un campione di $n = 81$ individui. Ciò significa che ogni prelievo è diviso in quattro porzioni uguali e contribuisce a quattro test differenti. Inoltre ogni test è su una miscela di 27 campioni.

Questo approccio si basa su una tecnica di costruzione dei codici correttori d’errori descritta nel riquadro². Uno dei grandi vantaggi è che la composizione delle miscele è tale che se nel campione vi è un solo individuo infetto questo può essere individuato con certezza. Di contro, se è presente piú di una persona infetta, occorre allora procedere a un secondo giro di test.

Esaminiamo ora l’esempio ruandese nel caso $n = 81=3^4$. Sapendo che il numero $X$ di individui infetti nel campione obbedisce a una legge binomiale di parametri $n = 81$ e $p$, si ha

\[\text{Pr}(X ≤1)=(1 – p)^{81}+81p(1–p)^{80}.\]

Questa strategia è interessante se è grande la probabilità che sia $X ≤ 1$. Ma perché sia $\text{Pr}(X ≤ 1) ≥ 0{,}95$, per esempio, occorre avere $p ≤ 0{,}44\%$; in altre parole la prevalenza della malattia deve essere bassa. Già a 1% di prevalenza si ha $\text{Pr}(X ≤ 1) = 0{,}806$ e in quasi il 20% dei casi bisognerà ricorrere a un secondo giro di test. Tuttavia, ancora per l’1% di prevalenza si ha

\[\text{Pr}(X=2)=\pmatrix{81 \\ 2}p^2(1-p)^{79}=0{,}146,\]

da cui $\text{Pr}(X ≤ 2) = 0{,}952$.

È possibile controllare facilmente i costi se ci si mostra astuti nel modo di condurre il secondo giro, quando vi è piú di un individuo infetto. Per esempio, tutti i casi che corrispondono a $X = 2$ soddisfano alla seguente proprietà (si faccia riferimento alla figura 4 dove si mostrano, nel caso $m=3$, le tranche per le quali il test è positivo):

(P) Per ogni valore di $i \in \{1, …, m\}$, vi sono al piú due tranche della forma $x_i = s$ e $x_i = t$ che portano a un test positivo, e esiste almeno un valore di i per il quale si hanno esattamente due test positivi di questa forma.

Figura 4
L’ipercubo discreto $\{0, 1, 2\}^3$ e le tre possibilità per due individui infetti: sulla stessa linea retta parallela ad un asse (sinistra), ai vertici opposti di un quadrato in un piano (centro) o ai vertici opposti di un cubo (destra). In ogni caso, le fette che portano ad un test positivo sono identificate in rosso, verde o blu con le stesse convenzioni di colore della Figura 3.

Se $k$ è il numero di valori di $i \in \{1, \ldots , m \}$ per i quali si hanno due test positivi della forma specificata in (P), il numero dei test aggiuntivi richiesti per individuare tutti gli individui infetti è dato nella seguente tabella.

Se non è verificata la proprietà (P), si debbono allora controllare tutti gli individui delle tranche che hanno portato a un test positivo, ciò che si traduce in al piú 82 test supplementari. Alla fine, il costo totale è dunque eguale a 100 × 17/81 ≈ 21%.

Prospettive

La ricerca di algoritmi adatti alla lotta contro il coronavirus raggiunge il culmine. Per esempio, recentemente è stato elaborato e implementato in laboratorio un algoritmo da un gruppo di ricerca israeliano: consiste nella realizzazione di 48 test sullo stesso campione di numerosità 8 × 48 = 384. Ogni prelievo individuale è diviso in sei parti uguali. Ogni test si basa sulla mescola di 48 di queste parti, una per ogni individuo. Ogni individuo è dunque presente in sei test differenti. Nel laboratorio è stato programmato un robot per preparare le 48 miscele. L’algoritmo consente d’identificare sino a quattro persone infette. Si ha cosí bisogno di un numero di test di otto volte inferiore a quello degli individui. Di nuovo, minore è la percentuale di infetti, migliore è la performance dell’algoritmo.

Naturalmente, nell’elaborazione di una procedura di un test statistico entrano in gioco altre considerazioni. Per semplificare, noi abbiamo qui supposto implicitamente che il test usato sia infallibile. Nella pratica anche le migliori procedure possono dare falsi positivi o falsi negativi. La sensibilità e la specificità dei test sono elementi importanti da prendere in considerazione al momento di raccomandarne l’implementazione, come pure la loro fattibilità in termini di tempo, di costi e di complessità delle manipolazioni.