Des étudiants en logique au nombre de N sont soumis à un test.
On leur explique qu’on va les aligner les uns derrière les autres, tous tournés vers la droite. On posera sur leur tête un chapeau rouge ou bleu tiré au hasard. L’étudiant le plus à gauche pourra voir tous les chapeaux sauf le sien; celui placé devant lui pourra voir tous les chapeaux sauf le sien et celui de l’étudiant placé derrière lui. Plus généralement, l’étudiant placé en position k, à partir de la gauche, pourra voir tous les chapeaux des étudiants k + 1, k + 2, etc. jusqu’au dernier le plus à droite, mais aucun autre.
On interrogera chaque étudiant sur la couleur du chapeau qu’il a sur la tête et on leur distribuera ensuite autant d’ordinateurs portables qu’ils auront donné de bonnes réponses. Ils s’arrangeront pour se les répartir.
On précise encore qu’avant de se mettre en rang, ils peuvent discuter entre eux et convenir d’un système de réponses, mais qu’une fois aligné les chapeaux seront placés au hasard et qu’ils ne pourront plus avoir d’échanges. Dernière précision: on les interrogera à voie haute et ils répondront, à voie haute, sur ce que chacun croit être la couleur de son chapeau, en commençant par l’étudiant le plus à gauche et en terminant par celui le plus à droite.
Analysons un instant le problème qui est soumis aux étudiants. En répondant au hasard, ils gagneront en moyenne N/2 ordinateurs car une réponse sur deux au hasard sera juste à peu près.
Les étudiants peuvent obtenir bien mieux s’ils conviennent entre eux de la méthode de jeu suivante:
– l’étudiant 1 (le plus à gauche) répondra en donnant la couleur du chapeau de l’étudiant 2, qui connaîtra donc de manière certaine la couleur de son chapeau;
– l’étudiant 2 répétera ce que l’étudiant 1 aura proposé (et gagnera donc);
– l’étudiant 3 répondra en donnant la couleur du chapeau de l’étudiant 4 (qui connaîtra donc de manière certaine la couleur de son chapeau);
– l’étudiant 4 répétera ce que l’étudiant 3 aura proposé (et gagnera donc);
– etc.
Cette façon de procéder assure les étudiants d’avoir au moins N/2 réponses exactes et, en moyenne, d’en avoir 3N/4 (car les étudiants de rang impair tomberont juste une fois sur deux environ).
C’est très bien, se disent les étudiants qui s’apprêtent à adopter cette tactique de jeu. Pourtant, l’un d’eux, Alonso, les arrête et dit:
– « Non, j’ai une autre idée, nous pouvons être certains de gagner un ordinateur chacun, sauf peut-être l’un de nous ».
Il semble impossible que les N étudiants puissent gagner de manière certaine N–1 ordinateurs et peut-être N! Pourtant, Alonso est un très bon étudiant qui ne se trompe jamais.
Quelle est donc l’idée d’Alonso?
