Les calculs de racine suivants sont disposés en ordre croissant de difficulté.
- La racine 1789-ème d’un nombre n de 7000 chiffres où n est une puissance exacte (n = m1789)
- La racine treizième d’un nombre n de 100 chiffres sachant que n est une puissance exacte (n = m13).
- La racine carrée d’un nombre de 80 chiffres où n est un carré parfait (n = m2).
Vous devez expliquer pourquoi il en est ainsi, et découvrir la méthode permettant de calculer la racine 1789-ème d’un nombre de 7Â 000 chiffres.
Si vous trouvez cela trop compliqué, attaquez-vous d’abord au paradoxe lexical suivant. Pourquoi est-il faux que la racine treizième du nombre a est le nombre b qui, multiplié treize fois par lui-même, donne a?
La racine treizième du nombre a est le nombre b qui, élevé à la puissance treize, donne a, et donc… c’est le nombre qui, multiplié douze fois par lui-même, donne a.
Puisque le résultat recherché est un entier, cela signifie que le nombre qu’on vous soumet – de 80 chiffres pour la racine carrée, de 100 chiffres pour la racine treizième, de 7000 chiffres pour la racine 1789-ème – est la puissance exacte d’un nombre entier.
La difficulté du problème dépend de la taille du nombre à retrouver, car c’est la quantité d’informations manquantes. La difficulté ne dépend donc pas de la longueur des données, comme on est tenté de le croire. Elle n’est pas non plus dans le fait de rechercher la racine k-ème pour un k élevé. Nous allons voir que la taille du nombre m à trouver va en croissant d’un exercice à l’autre et que c’est donc bien le premier exercice qui est le plus facile.
Commençons par lui : comment calculer la racine 1789-ème d’un nombre de 7000 chiffres? Un petit calcul algébrique ou un petit travail d’exploration, aidé d’un ordinateur, montre que les seuls nombres entiers qui, élevés à la puissance 1789, donnent des entiers ayant exactement 7000 chiffres sont : 8171, 8172, 8173, 8174, 8175, 8176, 8177, 8178, 8179, 8180.
Les nombres inférieurs à 8171 ont une puissance 1789-ème possédant moins de 7000 chiffres. Les nombres au-de-là de 8180 ont une puissance 1789-ème possédant plus de 7000 chiffres. De plus, si vous élevez 0, 1, 2, …, 9 à la puissance 1789, vous constaterez que le dernier chiffre des résultats est, dans le même ordre, 0, 1, 2, …, 9. Il en résulte immédiatement qu’en élevant à la puissance 1789 un nombre se terminant par le chiffre i, on trouve un nombre qui se termine encore par le chiffre i : le dernier chiffre d’un entier élevé à la puissance 1789 se conserve. (Plus généralement on montre que tout nombre entier, élevé à une puissance de la forme 4n + 1, garde le même dernier chiffre en base 10.)
Pour calculer la racine 1789-ème d’un nombre de 7000 chiffres, il suffit donc de regarder le dernier des 7000 chiffres et de repérer sur la liste [8171, 8172, 8173, 8174, 8175, 8176, 8177, 8178, 8179, 8180] le nombre qui a le même dernier chiffre. Apprendre cette liste est à la portée de tout le monde, et donc tout le monde peut, de tête, extraire la racine 1789-ème d’un nombre de 7000 chiffres !
Considérons maintenant le problème de l’extraction d’une racine treizième d’un nombre de 100 chiffres. L’ordinateur vous indique que si un nombre, élevé à la puissance 13, possède 100 chiffres, alors il est compris entre les deux nombres 41 246 264 et 49 238 826.
Si un nombre de 100 chiffres est une puissance treizième exacte, vous savez donc, sans même le regarder, qu’il commence par un 4. De plus, élever à la puissance treize ne change pas le dernier chiffre (comme pour la puissance 1789). Le travail nécessaire pour trouver la racine 13-ème d’un nombre de 100 chiffres consiste donc à déterminer les 6 chiffres manquants entre le 4 du début et le dernier chiffre facile à trouver. Quelques astuces arithmétiques rendent cela possible et ceux qui les connaissent et s’entraînent un peu n’ont besoin que de quelques minutes ou même de quelques secondes pour réaliser l’extraction de la racine treizième de nombres de 100 chiffres.
L’exercice d’extraire la racine carrée d’un nombre de 80 chiffres est le plus difficile des trois exercices proposés, car le calcul demande de retrouver 40 chiffres inconnus.
Est-ce un exploit?
Extraire la racine treizième d’un nombre de 100 chiffres demande de l’entraînement et peut-être même un don particulier en calcul mental, mais ce n’est pas un exploit fantastique.
Il a été réalisé entre autres par Herbert de Grote, Wikhelm Klein, Gert Mittring et Alexis Lemaire. Ceux qui le pratiquent en se présentant comme des génies mathématiques exploitent l’ignorance du public qui, en général, ne comprend pas très bien ce qu’est une racine treizième et encore moins la facilité qu’introduit le fait que les nombres proposés soient des puissances exactes.
Les media qui en parlent semblent victimes du paradoxe de la fausse difficulté et l’on peut être certain qu’ils seraient encore plus émerveillés et épatés par le génie qui réussirait le calcul révolutionnaire consistant à extraire la racine 1789-ème d’un nombre de 7000 chiffres…, calcul que pourtant tout le monde peut effectuer.
Le grand mathématicien John Wallis (1616-1703) pouvait, semble-t-il, extraire la racine carrée de nombres de 55 chiffres.
