Tours de Babel… et tours de Bagdad
- Étant donné l’équation quadratique
\[ax^2 + bx + c = 0 \; (^{*})\]
la méthode du complément (ou de complétion) du carré permet, par manipulation algébrique, d’obtenir les deux racines \(r_1\) et \(r_2\) (réelles ou complexes, éventuellement égales).a) Trouver l’expression de ces racines en ramenant l’équation à la forme
\[x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \; (^{**}) \]
et en la transformant de sorte que le membre de gauche devienne un carré.b) Variante: revenant à \((^{*}),\) procéder en multipliant l’équation par \(4a.\)
c) Autre démonstration: partant de \((^{**}),\) le changement de variable
\[y=x+ \frac{b}{2a}\]
permet d’isoler \(y^2.\) - En travaillant en base soixante, vérifier chacune des étapes du calcul de la tablette YBC 4663 (p. 26).
- Soit deux segments de longueur \(x \)et \(y\) (avec \(x > y\)).
a) Montrer, à l’aide d’un argument géométrique visuel (alias preuve sans paroles), que
\[y+\frac{x-y}{2}=\frac{x+y}{2}.\]b) Faire de même pour les égalités
\[x=\frac{x+y}{2} +\frac{x-y}{2} \, \text{et} \, y=\frac{x+y}{2} -\frac{x-y}{2}.\] - On considère un rectangle dont les côtés \(x\) et \(y\) satisfont aux équations \(x-y=b\) et \(xy=c.\) Trouver l’expression générale de la solution découlant de l’interprétation géométrique de la tablette YBC 4663 (pp. 26-27).
Le problème 25 de la tablette BM85200+VAT65991 est du type \(x+y=b\) et \(xy=c.\) Il y est question d’un rectangle d’aire 8;20 dont la somme des côtés est 5;50. La procédure de résolution figure dans l’encadré ci-contre.
a) Donner une interprétation géométrique de cette procédure.
b) En tirer une formule (notation moderne) pour la solution générale.
- Étant donné deux réels positifs \(x\) et \(y\) (avec \(x > y\)), on considère l’identité remarquable\[\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2 = xy+ \left ( \frac{x-y}{2} \right )^2, \; (^{***})\]
connue depuis fort longtemps.a) Montrer comment elle peut servir dans l’interprétation des méthodes mésopotamiennes de résolution de problèmes quadratiques.
b) Outre par manipulation algébrique (moderne), on peut justifier \((^{***})\) de plusieurs façons, notamment : comme corollaire de la Proposition 5 du Livre II des Éléments d’Euclide (voir l’encadré ci-après); en travaillant dans un demi-cercle de diamètre \(x + y,\) ou bien dans un carré de côté
\[\frac{x}{2}+\frac{y}{2};\]
ou encore à partir de l’identité bien connue \((u+v)(u-v) = u^2 – v^2.\)
- Compléter la résolution du problème de la tablette AO 8862 (pp. 27-28).
- S’intéressant à l’équation \(x^2 + 10x = 39\) (notation moderne), al-Khwarizmi justifie géométriquement, et à deux reprises, sa méthode de résolution : en considérant la moitié du nombre de racines (10), et aussi le quart.
a) Tracer une figure géométrique à l’appui de chacune de ces démonstrations.
b) Faire de même dans le cas général \(x^2 + bx = c.\) En tirer une formule (moderne) exprimant la solution d’al-Khwarizmi.
- Tablette en deux fragments, l’un étant au British Museum à Londres et l’autre à Berlin, au Vorderasiatisches Museum (collection du Proche-Orient du Pergamonmuseum). ↩
