- Calculer la racine carrée d’un nombre de 80 chiffres n’est pas très simple, même si on sait que l’entier \(n\) est un carré parfait \((n = m^2).\)
- Calculer la racine treizième d’un nombre \(n\) de 100 chiffres est encore plus compliqué, même si on sait que n est une puissance treizième exacte d’entier \((n = m^{13}).\) C’est même certainement impossible de tête.
- Que penser alors du calcul de la racine 1 789-ème d’un nombre \(n\) de 7 000 chiffres, même en sachant que \(n\) est une puissance 1 789-ème exacte \((n = m^{1789}).\) Réussir un tel calcul de tête constituerait une révolution!
Cela semble paradoxal, mais le troisième exercice est le plus simple : vous pouvez d’ailleurs le faire vous-même.
Le second calcul est difficile sans papier, mais quelques amateurs de calcul mental en sont capables. Le premier exercice, lui, n’est, semble-t-il, pas humainement possible de tête : même les plus grands calculateurs prodiges de l’histoire n’ont jamais réussi l’extraction de la racine carrée de nombres de 80 chiffres.
Ce qui semble le plus difficile à première vue est en réalité le plus facile : c’est le paradoxe de la fausse difficulté.
Vous devez expliquer pourquoi il en est ainsi, et découvrir la méthode permettant de calculer la racine 1 789-ème d’un nombre de 7 000 chiffres.
Si vous trouvez cela trop compliqué, attaquez-vous d’abord au paradoxe lexical suivant. Pourquoi est-il faux que la racine treizième du nombre a est le nombre b qui, multiplié treize fois par lui-même, donne a?