En 1931, le mathématicien allemand Heinz Hopf révèle dans la sphère tridimensionnelle une structure insoupçonnée et magnifique. Je vous invite à « voir » cette structure interne.
Les objets mathématiques à l’étude ici seront les surfaces dans l’espace. Des exemples bien connus sont les plans, les sphères et les tores. Lorsque ces surfaces sont fermées, elles n’incluent pas les points de leur intérieur. Par exemple, le tore en forme de beignet n’inclut pas les points occupés par le beignet; plutôt, c’est la surface qui l’enveloppe, sa « périphérie ».
Dans ce qui suit, j’utiliserai le mot « surface » assez librement. En effet, je nommerai également « surface » des objets géométriques en d’autres dimensions. Par exemple, dans l’espace de tous les vecteurs à quatre composantes (v, x, y, z), l’objet géométrique constitué des vecteurs dont la première composante est nulle, tel (0, x, y, z), sera aussi nommé une surface. C’est un plan tridimensionnel dans l’espace euclidien à quatre dimensions. (D’autres auteurs nomment cette surface un hyperplan ou une hypersurface.)
Trois exemples de fibration
Malgré leur apparente simplicité, certaines de ces surfaces ont une structure interne appelée fibration. En voici trois exemples : le cylindre, le tore et le ruban de Möbius. Quelques cercles ont été dessinés sur le cylindre. D’autres auraient pu être ajoutés afin que tout point du cylindre soit occupé par un de ceux-ci. Cet objet géométrique dont les multiples copies s’unissent pour couvrir tout le cylindre est appelé la fibre de la surface S. Cette fibre F peut être autre chose qu’un cercle : pour le cylindre et le tore, la fibre est un cercle, mais pour le ruban, elle est l’intervalle (0, 1).
Un autre objet géométrique, noté B, est dessiné proche du cylindre. Pour l’obtenir, tous les points d’une même fibre (par exemple la fibre rose) ont été projetés sur un seul point (le point rose) de cet objet B, appelé la base. Chaque point de B correspond à une fibre de la surface S et la base B est donc l’ensemble des fibres. Pour le cylindre, la base est une droite, alors que pour le tore et le ruban, c’est un cercle. La fibration d’une surface S est ainsi révélée à l’aide de deux objets géométriques : la base B et la fibre F. Ces trois exemples illustrent des propriétés fondamentales d’une fibration que l’encadré à la fin de l’article rassemble.
Le cylindre, le tore et le ruban de Möbius donnent des exemples simples d’espaces fibrés. Mais cette structure fine est mystérieuse: certains objets familiers possèdent plus d’une fibration (voir la Section problèmes), alors que d’autres n’en ont aucune : la sphère dans l’espace \(\mathbb{R}^3\) n’est pas une réunion de cercles disjoints. Finalement, quand cette structure interne existe, elle peut être difficile à découvrir. C’est sûrement le cas de la fibration de Hopf!
Notre prochaine étape sera de « visualiser » une surface dans un espace à quatre dimensions.
La sphère dans tous ses états
Soit r un nombre positif.
Le cercle de rayon r centré en l’origine est le lieu des points à distance r de l’origine.
Quelle magnifique définition : elle est simple et immédiatement généralisable à tout espace où la notion de distance est définie!
Dans l’espace euclidien, la sphère de rayon r centrée en l’origine est le lieu des points à distance r de l’origine.
En fait, le plan est un espace euclidien et le cercle est donc une sphère, selon cette définition. Et la définition s’applique aussi à l’espace euclidien des vecteurs à n composantes pour la distance usuelle :
\[\text{dist}((x_1,x_2,\ldots x_n),(y_1,y_2,\ldots y_n))\\= \sqrt{(x_1-y_1)^2 +(x_2 -y_2)^2 +\ldots +(x_n -y_n)^2.}\]
Il est usuel de noter par \(S^n\) une sphère de l’espace euclidien des vecteurs à \(n+1\) composantes. Ainsi le cercle du plan est noté \(S^1,\) alors qu’une sphère dans l’espace tridimensionnel est \(S^2.\)
Il est facile de visualiser le cercle (= la sphère \(S^1\)) et la sphère \(S^2.\) Mais nous aurons aussi besoin de visualiser l’(hyper)-sphère \(S^3\). La projection stéréographique est l’outil pour le faire. Soit \(S^2\) la sphère de rayon 1 dont le centre est à l’origine de l’espace euclidien tridimensionnel \(\mathbb{R}^3\). La projection stéréographique (ou plutôt son inverse) est une fonction bijective entre le plan horizontal \(z = 0\) de l’espace \(\mathbb{R}^3\) et (presque toute) la sphère \(S^2\). La construction (voir figure ci-dessus) consiste à identifier le point (a, b, 0) du plan (en bleu) à l’intersection (x, y, z) de la sphère \(S^2\) et de la droite (en tirets) allant de \((a, b, 0)\) au pôle nord. Les images des cercles centrés en l’origine du plan z=0 (comme le cercle rouge) sont les parallèles de la sphère \(S^2\). En particulier l’équateur est l’image du 9 cercle de rayon 1. Les droites horizontales passant par l’origine (comme la droite bleue) sont envoyées sur les méridiens. Finalement le pôle sud de \(S^2\) est l’image de l’origine (0, 0, 0). Le domaine de la fonction « projection stéréographique » est le plan \(z = 0\) et son image appartient à la sphère \(S^2\). En fait, tous les points de \(S^2\) ont une pré-image dans le domaine, tous sauf un! Aucun point du plan n’est envoyé vers le pôle nord (de coordonnées (0, 0, 1)). Ainsi la projection stéréographique est une bijection :
Mais le plan horizontal \(z = 0\) est en bijection avec le plan euclidien de dimension 2 :
Ces bijections expliquent le choix du symbole \(S^2\) (plutôt que \(S^3\)) pour dénoter le lieu des points équidistants de l’origine dans \(\mathbb{R}^3\).
C’est aussi la projection stéréographique qui permet de visualiser la sphère \(S^3\). Il suffit de considérer la sphère \(S^3\) de rayon 1 et centrée en l’origine de l’espace euclidien \(\mathbb{R}^4\) à quatre dimensions, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs (v,x,y,z). Comme ci-dessus, le point (a,b,c, 0) du plan \(z = 0\) de \(\mathbb{R}^4\) sera envoyé sur l’intersection avec \(S^3\) de la droite allant de ce point au pôle nord de \(S^3\) (de coordonnées (0, 0, 0, 1)). Voir une droite et une sphère dans \(\mathbb{R}^4\) n’est pas à la portée de tous… Mais l’intuition indique (et un calcul prouve) que la correspondance
est aussi une bijection. De plus, comme la figure de la page précédente le suggère, s’approcher de l’infini le long d’une droite passant par l’origine dans le plan \(z=0\) correspond, par cette bijection, à s’approcher du pôle nord le long d’un « méridien ». Ainsi la sphère \(S^3\) peut être visualisée comme l’espace euclidien \(\mathbb{R}^3\) auquel un point (le pôle nord) doit être ajouté.
\(S^3\) et la fibration de Hopf
Heinz Hopf (1894-1971) a montré que la sphère \(S=S^3\) est fibrée avec base \(B = S^2\) et fibre \(F = S^1\) (voir figure a).
La description de cette fibration procède en deux étapes. D’abord, pour chaque point de la base \(S^2\), un cercle sera tracé à l’intérieur de la sphère \(S^3\). Puis, les quatre propriétés données dans l’encadré seront vérifiées pour le choix de ces cercles.
Pour la première étape je tracerai dans \(\mathbb{R}^3\) (\(= S^3\) moins son pôle nord) les fibres correspondant aux pôles nord et sud de la base \(B = S^2\), puis aux points de l’équateur, puis enfin aux autres points des hémisphères nord et sud. La fibre associée au pôle sud est le cercle de rayon unité dans le plan horizontal de \(\mathbb{R}^3\) (voir figure b).
Celle du pôle nord est la droite verticale. Mais une droite n’est pas un cercle et la propriété 1 exige que les fibres soient identiques au cercle F. Pour contrer cette difficulté, il suffit de compléter la droite par le point à l’infini (le pôle nord de \(S = S^3\)). Alors cette droite ainsi complétée sera, par la projection stéréographique, un méridien de \(S^3\) et donc un cercle.
Les fibres associées aux points de l’équateur de \(S^2\) reposeront toutes sur un tore « encerclant » la fibre du pôle sud. Ce tore est dessiné en jaune sur la figure c. Y sont aussi tracées cinq fibres associées aux cinq points marqués sur l’équateur. Les fibres associées à tous les autres points de l’équateur reposent sur ce tore et sont obtenues d’une des fibres tracées en tournant le tore autour de l’axe vertical. Ainsi chaque point de l’équateur possède une fibre sur ce tore et deux points distincts de l’équateur possèdent des fibres disjointes. Ces fibres sont des cercles, nommés cercles de Villarceau1. Ce mot « cercle » est très surprenant! Un plan coupant une poire ne l’intercepte pas le long d’un cercle (sauf s’il est perpendiculaire à l’axe de la poire). Mais, en tout point d’un tore, il existe quatre plans interceptant le tore le long de cercles : le plan horizontal, le vertical, et deux autres définissant les cercles de Villarceau. En chaque point, la fibration de Hopf choisit un de ces deux cercles et le tore est l’union disjointe des cercles retenus.
Voici maintenant comment les fibres associées aux points des hémisphères nord et sud sont construites. La réunion des fibres associées à un parallèle donné sera un tore. Ces tores seront à l’intérieur du tore de l’équateur pour les parallèles de l’hémisphère sud et à l’extérieur pour ceux de l’hémisphère nord. Par exemple le parallèle en rouge sur \(B=S^2\) (à peu près à la latitude de Montréal) aura ses fibres sur le tore en rose, alors que le parallèle bleu (à la latitude de Christchurch en Nouvelle Zélande) couvrira celui en bleu pâle. Sur chacun de ces tores, les fibres sont des cercles de Villarceau, comme sur l’équateur (figure d).
Finalement la figure e montre des fibres associées à cinq parallèles (qui reposent donc sur cinq tores imbriqués), ainsi que les fibres des pôles nord et sud. Cette construction a donc associé à chaque point de la base un cercle de Villarceau sur un tore dans \(S^3\) (propriété 1).
La vérification des autres propriétés, notre seconde étape, devra maintenant répondre aux questions-clés suivantes : les fibres s’évitent-elles deux à deux (propriété 2 de l’encadré)? et remplissent-elles complètement \(S^3\) (propriété 3)?
La réponse à ces deux questions est dans la position des tores sur lesquels reposent les fibres. La figure ci-dessous donne une coupe de \(\mathbb{R}^3\) montrant ces tores imbriqués. La fibre associée au pôle sud y apparaît comme un demi-cercle. De cette fibre croissent les tores associés aux parallèles de l’hémisphère sud, jusqu’à celui de l’équateur (en jaune). Puis viennent les tores de l’hémisphère nord qui, à nouveau, croissent jusqu’à ce qu’ils s’approchent de la fibre du pôle nord (= l’axe vertical).
Il devient clair que ces tores, avec les deux fibres des pôles nord et sud, remplissent tout \(S^3\) et chacun des points de ces tores appartient à un des cercles de Villarceau retenus. La propriété 3 est donc satisfaite. À deux parallèles distincts de \(S^2\) correspondent deux tores distincts de S3; les fibres du premier tore sont donc disjointes de celles du second. Enfin deux fibres distinctes sur un même tore sont disjointes et la propriété 2 est satisfaite. Finalement les points voisins de \(S^2\) auront des fibres voisines (sur des tores voisins ou même sur le même si ces points sont à la même latitude) et la continuité requise par la propriété 4 est (au moins intuitivement) vérifiée.
Est-ce que \(S^3\) est la seule sphère fibrée?
La fibration de Hopf est exceptionnelle, à plus d’un point de vue. Par exemple, toutes les fibres, celles qui sont des cercles de Villarceau et les fibres des pôles nord et sud, sont entrelacées deux à deux.2 De plus, seules deux autres sphères sont fibrées par des sphères : \(S^7\) (avec \(B = S^4\) et \(F = S^3)\) et \(S^{15}\) (avec \(B = S^8\) et \(F = S^7\)). Comme souvent en mathématiques, ces structures exceptionnelles n’arrivent pas seules : elles sont intimement liées à l’existence des nombres complexes et de leurs extensions, les quaternions et les octonions.
Les propriétés d’un espace fibré
La définition mathématique d’espace fibrée mène aux propriétés ci-dessous. Si une surface S est fibrée de base B et de fibre F, alors les quatre propriétés suivantes sont vérifiées.
Propriété 1 :
À chaque point b de la base B correspond un sous-ensemble f de la surface S identique à la fibre F, c’est-à-dire que ce sous-ensemble f est en bijection avec F et possède la même forme que F : par exemple, si F est un cercle, alors f en est un également. Ce sous-ensemble f est appelé la fibre correspondant à b.
Propriété 2 :
Si \(b_1\) et \(b_2\) sont deux points distincts de B, leurs fibres associées \(f_1\) et \(f_2\) dans S n’ont aucun point en commun.
Propriété 3 :
Tous les points de S appartiennent à une fibre correspondant à un certain point de B.
Propriété 4 :
Pour tout point b de la base B, il existe un voisinage ouvert O de b dans B et une fonction \(\varphi\) entre \(O \times F\) et l’union de toutes les fibres dans S associées aux points de O telle que \(\varphi\) soit bijective, continue et avec un inverse continu.
Cette dernière propriété (difficile!) indique que l’espace fibré S est toujours localement un produit cartésien. Certains espaces fibrés, comme le cylindre et le tore, sont globalement des produits cartésiens (le voisinage O peut être choisi égal à la base B), alors que d’autres, comme le ruban de Möbius et le fibré de Hopf, ne le sont pas.
Pour en s\(\alpha\)voir plus!
Lyons, David W., An Elementary Introduction to the Hopf Fibration, Mathematics Magazine, 76(2) (2003) 87–98, doi:10.2307/3219300, ISSN 0025-570X, JSTOR 3219300.
Cette référence est tirée de la page wiki « Hopf fibration ». C’est un texte magnifiquement pédagogique.
