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Section problèmes : volume 12.1

Par André Ross
Volume 12.1 - hiver-printemps 2017

Indivisibles de Cavalieri

Calcul d’aires

    1. probleme-1Dans la figure ci-contre, la demi-droite OD, en rotation de sens horaire à une vitesse constante, a décrit un angle \(\alpha\) et le point générateur, en se déplaçant à une vitesse constante, est parvenu en B. Déterminer :
      1. la longueur du rayon OB.
      2. la longueur L de l’arc de cercle AB.
      3. l’aire de la surface formée par les indivisibles de la spirale.
    2. probleme-4Par la méthode des indivisibles :
      1. déterminer l’aire de la surface latérale d’un cylindre de rayon r et de hauteur h.
      2. déterminer l’aire de la surface latérale d’un cône de rayon r et de hauteur h.
    3. probleme-3Par le théorème de Pappus-Guldin, déterminer l’aire de la surface engendrée par la rotation :
      1. d’un segment de droite \(\Delta\) autour d’un axe qui lui est parallèle et qui est situé à une distance a du segment de droite.
      2. d’un segment de droite de longueur L dont l’une des extrémités est sur l’axe de rotation et l’autre extrémité est à une distance b de cet axe.

      Comparer les résultats à ceux obtenus en 2.

Calcul de volumes

  1. probleme-4Par la méthode des indivisibles :
    1. déterminer le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h.
    2. déterminer le volume d’un cône de rayon r et de hauteur h.
  2. probleme-12-1Par le théorème de Pappus-Guldin, déterminer le volume du solide engendré par la rotation :
    1. du rectangle illustré autour d’une de ses hauteurs.
    2. du triangle rectangle ci-contre autour du côté de longueur h.

    Comparer ces résultats à ceux obtenus en 4.

  3. En notation moderne, Archimède a démontré que l’aire d’une sphère est \(A = 4 \pi r^2\) et son volume \(V = 4 \pi r^3/3.\) À l’aide du théorème de Pappus-Guldin, déterminer :
    1. le centre de gravité de la demi-circonférence de rayon r.
    2. le centre de gravité du demi-disque de rayon r.

Découper une pizza

probleme-6Jacques découpe une pizza avec trois traits en choisissant un point sur la circonférence comme point de rencontre des traits.

  1. En considérant un rayon unitaire, calculer l’aire de la surface contenant le centre (partie jaune).
  2. Julie choisit la partie contenant le centre, calculer en pourcentage la part de la pizza qu’elle reçoit.

Glanures mathématico-littéraires

Étant donné une droite m située dans un plan, on s’intéresse à la transformation géométrique de réflexion (axiale) dans m, par laquelle tout point P du plan a pour image le point P’ tel que le segment PP’ est perpendiculaire à m et coupé en son milieu par m. (Cette transformation peut être vue comme représentant, dans le plan, l’effet miroir.)

On s’intéresse ici à l’ensemble de toutes les images obtenues par des réflexions successives dans deux droites données, a et b. On considérera à cette fin un objet non symétrique (par exemple la lettre « L ») placé entre les deux « miroirs ».

  1. Lorsque les deux miroirs sont parallèles, la figure qui en résulte est une frise. Décrire l’ensemble des images alors obtenues.
  2. Lorsque les deux miroirs sont concourants, on obtient une rosace. Examiner l’effet du choix de l’angle entre les miroirs. Quelles sont les valeurs de cet angle qui mènent à des rosaces particulièrement intéressantes, au regard de la symétrie des images obtenues?

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Tags: Section problèmes

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