Conte pour jeunes… et moins jeunes, récit autobiographique, exercice stylistique: tels sont les univers littéraires d’où proviennent les rencontres mathématiques proposées dans ces glanures.
Jeux de miroirs
Le pouvoir réfléchissant du miroir a de tout temps été la source aussi bien de mystère que d’envoûtement. On peut penser ici aux malheurs de Narcisse, personnage de la mythologie grecque épris de sa propre image reflétée dans l’eau d’une fontaine. Ou encore, plus près de nous, au miroir magique qui, dans le conte Blanche-Neige des frères Grimm (1812), répète inlassablement à la méchante reine qu’elle est la plus belle… jusqu’au jour où survient la protagoniste du récit!
Mais c’est peut-être sous la plume de Charles Dodgson (1832-1898) — alias Lewis Carroll —, enseignant de mathématiques et de logique pendant plus de 25 ans au collège Christ Church de l’Université d’Oxford, que la fascination exercée par le miroir trouve son expression la plus éloquente. Dans De l’autre côté du miroir, et ce qu’Alice y trouva (1871), l’auteur du roman à succès Les Aventures d’Alice au pays des merveilles (1865) nous montre son héroïne littéralement passer à travers le miroir. Il faut d’ailleurs entendre celle-ci raconter à son petit chat Kitty ses idées sur la « Maison du Miroir ».
« Maintenant, Kitty, si tu veux bien m’écouter, au lieu de jacasser sans arrêt, je vais te dire tout ce que j’imagine à propos de la Maison du Miroir. D’abord il y a la pièce que tu peux voir dans la glace… Elle est exactement semblable à notre salon, mais les objets y sont inversés. (…) Les livres y ressemblent à nos livres, à cette différence près que les mots y sont écrits à l’envers; je le sais bien, car un jour j’ai tenu un de nos livres devant la glace, et, lorsqu’on fait cela, ils en tiennent un aussi dans l’autre pièce. (…) Oh, Kitty, comme ce serait merveilleux si l’on pouvait entrer dans la Maison du Miroir! (…) Faisons semblant d’avoir découvert un moyen d’y entrer, Kitty. » (…) Tandis qu’elle prononçait ces mots, elle se trouva juchée sur la cheminée, sans trop savoir comment elle était venue là. (…) À l’instant suivant, Alice avait traversé la glace et sauté avec agilité dans le salon du Miroir.1
Le mystère entourant le miroir est fort bien cristallisé dans la question naïve soulevée par Martin Gardner (1914-2010), vulgarisateur hors pair des mathématiques: « Pourquoi un miroir inverse-t-il seulement la droite et la gauche et non pas aussi le haut et le bas? »2 (Voir à ce propos l’appendice au solutionnaire accompagnant la Section problèmes.)
Crédit: Northern Maine Museum of Science
Visions kaléidoscopiques
Or un miroir, c’est bien… mais deux, c’est mieux! L’explosion de motifs provoquée par l’utilisation simultanée de deux miroirs est depuis longtemps une source d’émerveillement. L’effet de deux miroirs parallèles est bien connu … par une simple visite au salon de coiffure! La figure ainsi obtenue, qui constitue un magnifique contact géométrique avec la notion d’infini, est un exemple de frise.3 Et lorsque les miroirs se croisent, leur action combinée engendre une figure symétrique par réflexion et rotation, communément appelée rosace.4 On doit au physicien écossais David Brewster (1781-1868) d’avoir codifié le type de la rosace ainsi obtenue en fonction de l’angle compris entre les deux miroirs. (Voir à ce sujet la Section problèmes.)
Les travaux de Brewster l’ont amené à inventer, en 1817, un « jouet philosophique », selon ses propres termes — c’est-à-dire un jouet pouvant favoriser le développement de connaissances —, qu’il a baptisé le kaléidoscope.5 La figure ci-contre, proposée par Brewster comme illustration de l’utilité du kaléidoscope dans les arts ornementaux, représente une rosace à dix composantes obtenue à l’aide de deux miroirs formant un angle de 36°.
Le kaléidoscope a immédiatement suscité un vif engouement dans la population, comme en témoigne notamment un passage tiré des Misérables de Victor Hugo (1802-1885) — éminent poète, dramaturge et romancier français, membre de l’Académie française. L’auteur y décrit la salle basse de l’auberge Thénardier où Jean Valjean va chercher Cosette, tel que promis à sa mère Fantine:
Cette salle ressemblait à toutes les salles de cabaret ; des tables, des brocs d’étain, des bouteilles, des buveurs, des fumeurs; peu de lumière, beau- coup de bruit. La date de l’année 1823 était pourtant indiquée par les deux objets à la mode alors dans la classe bourgeoise qui étaient sur une table, savoir un kaléidoscope et une lampe de fer-blanc moiré.6
André Gide à propos du kaléidoscope
Un autre jeu dont je raffolais, c’est cet instrument de merveilles qu’on appelle kaléidoscope: une sorte de lorgnette qui, dans l’extrémité opposée à celle de l’œil, propose au regard une toujours changeante rosace, formée de mobiles verres de couleur emprisonnés entre deux vitres translucides. L’intérieur de la lorgnette est tapissé de miroirs où se multiplie symétriquement la fantasmagorie des verres, que déplace entre les deux vitres le moindre mouvement de l’appareil. Le changement d’aspect des rosaces me plongeait dans un ravissement indicible. Je revois encore avec précision la couleur, la forme des verroteries. (…)
Mes cousines qui partageaient mon goût pour ce jeu, mais s’y montraient moins patientes, secouaient à chaque fois l’appareil afin d’y contempler un changement total. Je ne procédais pas de même : sans quitter la scène des yeux, je tournais le kaléidoscope doucement, doucement, admirant la lente modification de la rosace. Parfois l’insensible déplacement d’un des éléments entraînait des conséquences bouleversantes.
J’étais autant intrigué qu’ébloui, et bientôt voulus forcer l’appareil à me livrer son secret. Je débouchai le fond, dénombrai les morceaux de verre, et sortis du fourreau de carton trois miroirs; puis les remis; mais, avec eux, plus que trois ou quatre verroteries. L’accord était pauvret; les changements ne causaient plus de surprise; mais comme on suivait bien les parties! comme on comprenait bien le pourquoi du plaisir!
Puis le désir me vint de remplacer les petits morceaux de verre par les objets les plus bizarres: un bec de plume, une aile de mouche, un bout d’allumette, un brin d’herbe. C’était opaque, plus féérique du tout, mais, à cause des reflets dans les miroirs, d’un certain intérêt géométrique… Bref, je passais des heures et des jours à ce jeu. Je crois que les enfants d’aujourd’hui l’ignorent, et c’est pourquoi j’en ai si longuement parlé.7
Crédit: Red Mandala, Juan Trujillo
Dans le récit autobiographique Si le grain ne meurt, l’écrivain français André Gide (1869-1951) — récipiendaire du prix Nobel de littérature en 1947 — décrit de manière éloquente l’intense plaisir qu’il éprouvait, à l’âge d’à peine six ans, à manipuler un kaléidoscope (voir encadré p. 27). Difficile d’imaginer plus bel éloge de la beauté de phénomènes géométriques, même élémentaires!
Les Exercices de style de Queneau
Une des œuvres les plus connues de l’écrivain français Raymond Queneau (1903-1976) — dont il a déjà été question dans des Glanures précédentes8 —, est sans contredit ses Exercices de style (1947), qui se distinguent tant par leur originalité que leur esprit. L’idée de base est extraordinairement simpl: partir d’un court récit d’à peine quelques lignes et en proposer des variantes écrites tout en respectant les contraintes de styles littéraires donnés. Il s’agit donc d’un ouvrage touchant à l’essence même de l’« écriture sous contrainte » si chère au collectif OULIPO, dont Queneau était l’un des cofondateurs. L’auteur y reprend 99 fois une histoire somme toute banale — où il est question de bus,
d’un jeune homme au long cou et de bouton de pardessus. (Le texte de départ, intitulé Notations, est facilement accessible par internet, et il figure aussi dans l’appendice au solutionnaire.)
Les styles mis de l’avant par Queneau sont parfois tout à fait clairs quant à leur portée — par exemple Imparfait, Alexandrins, voire Lipogramme (en l’occurrence, absence de la lettre e). D’autres sont nettement plus abscons et requièrent un bon ouvrage de stylistique pour comprendre de quoi il retourne — c’est le cas notamment des styles Homéotéleutes ou Polyptotes.
Mais une partie de l’intérêt du lecteur d’Accromath résidera sans doute dans le fait que Queneau, se laissant porter par sa passion pour les mathématiques, a commis quelques variantes d’une telle nature: Ensembliste, Probabiliste, Géométrique. (Il avait même proposé, mais sans les mener à terme, la possibilité de versions dans les registres Arithmétique, Algébrique, Analytique, Topologique.)
L’encadré Ensembliste illustre comment l’historiette de départ, sous la plume d’un Queneau peut-être influencé par ses liens avec certains membres du groupe Bourbaki, peut se raconter à l’aide du langage de la théorie des ensembles. On y retrouve une certaine saveur rappelant les fameuses « maths modernes », qui eurent une si forte influence sur la pédagogie des années 1960.
(Le lecteur intéressé trouvera, en appendice au solutionnaire de la Section problèmes, d’autres exemples du texte de départ repris par Queneau dans des styles mathématiques.)
Les Exercices de style du journal Le Devoir
Dans son édition du 25 octobre 2016, le quotidien montréalais Le Devoir a voulu souligner le 40e anniversaire du décès de Raymond Queneau en proposant un court texte en hommage à l’écrivain, repris sur le site du journal selon les 40 premiers styles mis en œuvre par Queneau dans son célèbre ouvrage.
Invitation était alors faite au lecteur de compléter « à la Queneau » cette collection de textes en faisant intervenir les 59 styles restants, dont les styles à saveur mathématique. Une production de notre cru, dans le style Géométrique, figure en encadré.
(On trouvera, dans le solutionnaire de la Section problèmes, un texte en mode Ensembliste.)
Comme quoi les Exercices de style de Queneau sont toujours d’actualité… mathématico-littéraire!
Exercices de style de Queneau — Ensembliste
Dans l’autobus S considérons l’ensemble A des voyageurs assis et l’ensemble D des voyageurs debout. À un certain arrêt, se trouve l’ensemble P des personnes qui attendent. Soit C l’ensemble des voyageurs qui montent; c’est un sous-ensemble de P et il est lui-même l’union de C’ l’ensemble des voyageurs qui restent sur la plate-forme et de C’’ l’ensemble de ceux qui vont s’asseoir. Démontrer que l’ensemble C’’ est vide.
Z étant l’ensemble des zazous et {z} l’intersection de Z et de C’, réduite à un seul élément. À la suite de la surjection des pieds de z sur ceux de y (élément quelconque de C’ différent de z), il se produit un ensemble M de mots prononcés par l’élément z. L’ensemble C’’ étant devenu non vide, démontrer qu’il se compose de l’unique élément z.
Soit maintenant P’ l’ensemble des piétons se trouvant devant la gare Saint-Lazare, {z, z’} l’intersection de Z et de P’, B l’ensemble des boutons du pardessus de z, B’ l’ensemble des emplacements possibles des dits boutons selon z’, démontrer que l’injection de B dans B’ n’est pas une bijection.
Exercices de style du Devoir — Géométrique
Au point P de coordonnées (Paris — 7e arrondissement, 1947) de l’univers géométrique déterminé par le repère espace-temps terrestre, dans un édifice de forme parallélépipédique rectangulaire orthogonale et à la géométrie externe typiquement parisienne, Gallimard produit un nouveau prisme rectangulaire de papier — ci-après nommé « le Bouquin ». Comprenant environ 75 éléments rectangulaires de mince épaisseur imprimés sur chacune de leurs deux faces principales, recto verso, le Bouquin raconte une histoire somme toute banale à propos d’un amas de points A, de type androïde et au long cou cylindrique, situé à l’intérieur d’un parallélépipède rectangle transporteur en commun et animé d’un mouvement. Dans le repère espace-temps interne à la narration, le récit couvre deux points distincts, Q = (e, t) et Q’ = (e’, t’), distants de quelques kilomètres et de deux heures. À l’intérieur de cet intervalle spatio-temporel [Q,Q’], A vit d’abord une intersection brève mais brutale avec un amas androïde A’. Puis, au temps t’, A entre en contact avec un autre amas de points, A’’, de la sous-catégorie camarade. Celui-ci suggère à A d’ajouter un disque dans la région supérieure de l’enveloppe située autour de son cylindre cervical.
Le Bouquin se distingue par le fait que son contenu prend forme dans une géométrie à 99 dimensions. Depuis sa parution, le cercle de ses aficionados s’est généralement distingué par la forte longueur de son diamètre. Cependant, si on se concentre sur la coordonnée Québec dans le repère espace-temps, on observe que le diamètre de ce cercle se retrouve alors singulièrement réduit.
Le corps de l’auteur du Bouquin est déposé, au point P’ de coordonnées (Juvisy-sur-Orge — cimetière ancien, 1976), dans un parallélépipède ligneux et souterrain déterminé par trois quatuors d’arêtes de longueur respective 2 m, 0,75 m et 0,6 m approximativement — à moins que l’amas de points le composant n’ait au préalable été ramené à sa forme primitive et placé dans un cylindre métallique de volume environ 3 litres. La distance au point P’, selon la composante temps, est aujourd’hui de 40.
Pour en s\(\alpha\)voir plus!
- Une étude des mythes entourant les miroirs et leurs effets de réflexion est proposée par
Jurgis Baltrusaitis, Le miroir: Essai sur une légende scientifique. Elmayan & Le Seuil, 1978.
Martin Gardner présente une étude fascinante sur tout ce qui entoure Alice – au pays des merveilles et de l’autre côté du miroir – dans
Martin Gardner, The Annotated Alice: Alice’s Adventures in Wonderland & Through the Looking-Glass (Definitive Edition). W.W. Norton, 2000.
La rosace proposée par Brewster qui figure dans le texte est tirée de son ouvrage
David Brewster, A Treatise on the Kaleidoscope. Edinburgh, A. Constable, 1819.
Des suggestions d’activités pédagogiques visant à comprendre les principes géométriques qui sous-tendent le kaléidoscope sont proposées dans
Bernard R. Hodgson, La géométrie du kaléidoscope. Bulletin AMQ 27(2) (1987) 12–24.
Pour des exemples de « kaléidoscopes virtuels » que l’on peut manipuler à l’aide de l’ordinateur, voir
Klaus-Dieter Graf et Bernard R. Hodgson, « Visions kaléidoscopiques. » In: Richard Pallascio et Gilbert Labelle, dir., Mathématiques d’hier et d’aujourd’hui. Modulo Éditeur, 2000, pp. 130-145. - Parmi les nombreuses éditions disponibles des Exercices de style, la suivante se distingue par le souci apporté à faire comprendre les différents styles utilisés par Queneau, ainsi que par le dossier pédagogique qui l’accompagne:
Raymond Queneau, Exercices de style. Collection Folio Plus Classiques, Gallimard, 2007.
- De l’autre côté du miroir, et ce qu’Alice y trouva, Chapitre I. ↩
- Martin Gardner, L’univers ambidextre: les miroirs de l’espace-temps. Éditions du Seuil, 1985, p. 15. ↩
- Une frise est une figure géométrique symétrique par translation, tous les vecteurs de translation étant de même direction. ↩
- Une rosace est une figure bornée possédant un centre et symétrique par rotation autour de ce centre. Certaines rosaces possèdent également des symétries de réflexion. ↩
- Mot forgé à partir des racines grecques kalos, « beau », eidos, « aspect » et skopein, « regarder ». ↩
- Les Misérables, 2e Partie, Livre III, Chapitre I. ↩
- André Gide, Si le grain ne meurt. Œuvres complètes d’André Gide, tome 10. Paris : Gallimard, 1932, pp. 35-36. ↩
- Voir Accromath, vol. 11, hiver-printemps 2016, pp. 26-29. ↩
