L’astronome, statisticien et actuaire danois Thorvald Thiele a trouvé une façon de générer automatiquement de très beaux motifs de mosaïques au moyen du concept de résidu quadratique dans l’ensemble des entiers de Gauss.
Une mosaïque est un assemblage composé de petits cubes ou de fragments multicolores de divers matériaux dont la disposition forme un motif décoratif. Utilisées pour parer le revêtement d’un sol, d’un mur, d’un plafond ou d’un objet, les mosaïques ont été très populaires pendant l’Antiquité et sont restées en usage tout au long du Moyen Âge et de la Renaissance.
Après avoir quasiment disparu, l’art du pavage en mosaïque a connu un regain de popularité avec le mouvement artistique de la fin du 19e siècle et du début du 20e appelé « Art nouveau ». Les découvertes de la science exerçaient alors une forte attraction sur le grand public et de nombreux artistes (poètes, musiciens, peintres, etc.) ont traduit cette fascination en donnant une dimension mathématique à leur œuvre.1 L’élégante régularité des motifs de nombreux dallages en mosaïque qui ornent nos maisons et bâtiments publics n’est qu’une des multiples manifestations de cette recherche esthétique.
À sa façon, Thorvald Thiele (1838-1910) a contribué à ce mouvement en montrant le premier comment l’utilisation de congruences dans l’ensemble des entiers de Gauss permet de construire facilement des mosaïques d’une grande beauté. La figure 1 illustre deux des motifs qu’il dévoila en primeur lors d’un grand congrès scientifique scandinave tenu à Copenhague en 1873. Le dallage de Thiele représenté à la figure 2 se trouve lui aussi à Copenhague, dans le hall d’entrée du Ministère danois de la défense.
En plus de produire d’élégants résultats, la technique de construction de mosaïques employée par Thiele est à la fois simple et ingénieuse. Elle s’appuie sur la notion de résidu quadratique complexe que nous allons explorer ensemble en deux temps. Nous serons ensuite en mesure de formuler trois énigmes non résolues concernant le dallage de la figure 2.
Figure 2. Dallage de Thiele ornant le hall d’entrée du Ministère danois de la défense, situé au no 9 du Holmens Kanal, à Copenhague
Congruence et résidus quadratiques dans \(\mathbb{Z}\)
Étant donné un entier \(p ≥ 1,\) rappelons d’abord que deux entiers relatifs
\[a,b \in \mathbb{Z}=\{0, \pm 1, \pm 2,\ldots \}\]
sont dits congrus modulo p si leur différence a – b est un multiple de p, c’est-à-dire s’il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que a – b = kp. On écrit alors
\[a≡b \mod p.\]
En particulier, a est congru au reste de sa division par p. On peut donc écrire par exemple 17 ≡ 1 mod 4 car 17 – 1 = 16 est divisible par 4 tandis que 28 ≡ 0 mod 4 puisque 28 = 4 × 7 est un multiple de 4.
De plus, on dit qu’un entier naturel \(q \in \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots \}\) est un résidu quadratique modulo p s’il existe un entier relatif \(x \in \mathbb{Z}\) tel que
\[q≡x^2 \mod p.\]
Dans le cas contraire, on dit que q est un non-résidu quadratique modulo p.
Deux exemples simples
Par exemple, tout entier \(q \in\mathbb{N}\) est un résidu quadratique modulo 2. En
effet,
- si q ≡ 0 mod 2 (q est pair), alors \(q ≡ 0^2 \mod 2;\)
- si q ≡ 1 mod 2 (q est impair), alors \(q ≡ 1^2 \mod 2.\)
De fait, tout entier \(q \in\mathbb{N}\) congru à 0 ou à 1 est un résidu quadratique modulo p, quel que soit p.
Par exemple,
- si q ≡ 0 mod 4, alors \(q ≡ 0^2 \mod 4;\)
- si q ≡ 1 mod 4, alors \(q ≡ 1^2 \mod 4.\)
Cependant, si q ≡ 2 mod 4 ou q ≡ 3 mod 4, il n’y a aucun entier relatif \(x \in \mathbb{Z}\) pour lequel \(q ≡ x^2 \mod 4,\) comme on peut le montrer par contradiction en distinguant les cas où x est pair et impair:
- si \(x = 2n,\) alors \(x^2 = 4n^2 ≡ 0 \mod 4,\) puisque \(4n^2\) est divisible par 4;
- si \(x = 2n + 1,\) alors \(x^2 = 4n^2 + 4n + 1 ≡ 1 \mod 4.\)
Trottoirs de Thiele
Le résultat précédent est représenté graphiquement à la figure 3 à l’aide de ce qu’on pourrait appeler un « trottoir de Thiele ». En général, le trottoir de Thiele modulo p est composé de tuiles carrées de côté 1, centrées en (0, 0), (1, 0), (2, 0), etc. La couleur de la tuile centrée en (q, 0) est déterminée comme suit:
- rouge si q ≡ 0 mod p;
- bleu si q est un résidu quadratique modulo p (mais q ≡ 0 mod p);
- blanc si q est un non-résidu quadratique modulo q.
Figure 3. Trottoir de Thiele modulo 4.
Quand p = 4, tout entier q est congru à 0, 1, 2 ou 3 mod 4. Le motif « rouge, bleu, blanc, blanc » correspondant aux tuiles (0, 0), (1, 0), (2,0) et (3,0) se répète ensuite indéfiniment. Pour toute autre valeur de p ≥ 1, la construction du trottoir de Thiele modulo p est facile à compléter dès que l’on connaît les couleurs des tuiles centrées en (0,0), …, (p–1,0); la périodicité est de longueur p.
Il se trouve que les mosaïques de Thiele sont basées sur un principe semblable. Étant donné une paire d’entiers \(p= (p_1, p_2),\) la couleur de la tuile centrée en \((q_1,q_2)\) variera selon qu’il s’agit d’un résidu quadratique modulo p ou pas. Pour que cet énoncé prenne tout son sens, il nous faudra toutefois explorer d’abord la notion de congruence entre deux paires d’entiers relatifs.
Thorvald Nicolai Thiele (1838-1910)
Thorvald Thiele est né à Copenhague le 24 décembre 1838 et y est décédé le 26 septembre 1910 à l’âge de 71 ans. Son prénom lui vient de son parrain, le sculpteur Bertel Thorvaldsen. Après de brillantes études, Thiele a été professeur d’astronomie à l’Université de Copenhague de 1875 à 1907, ainsi que directeur de l’Observatoire astronomique universitaire. Reconnu comme précurseur de la statistique mathématique, il a été le premier à proposer une théorie du mouvement brownien en plus d’être à l’origine des notions de cumulant et de vraisemblance. Thiele a aussi contribué à la fondation, dès 1872, de la toute première compagnie d’assurance-vie privée du Danemark, la Société Hafnia. Il en a été le directeur scientifique jusqu’en 1901 et a présidé son Conseil d’administration de 1903 à 1910. Deux astéroïdes ont été nommés en son honneur; l’un d’entre eux a été découvert par son fils Holger, lui-même astronome réputé.
Extension à l’ensemble des entiers de Gauss
Dans un ouvrage paru en 1801, Disquisitiones arithmeticae, le célèbre mathématicien, astro- nome et physicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) s’est intéressé à l’arith- métique modulaire sur d’autres ensembles que \(\mathbb{Z}\), dont celui des paires d’entiers relatifs, c’est-à-dire des vecteurs \((a_1,a_2) \in \mathbb{Z}^2 = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.\)
Gauss a défini la somme et le produit de deux éléments quelconques
\(a = (a_1,a_2), b = (b_1, b_2) \in \mathbb{Z}^2\) comme suit:
\((a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1, a_2 +b_2),\)
\((a_1,a_2)\times(b_1,b_2)=(a_1b_1-a_2b_2 ,a_1b_2 +a_2b_1).\)
L’addition est tout simplement celle des vecteurs. Plus mystérieuse, la multiplication est intimement liée à la notion de nombre complexe [voir encadré ci-dessous].
Doté de ces deux opérations, l’ensemble \(\mathbb{Z}^2\) dit « des entiers de Gauss » possède toutes les propriétés nécessaires pour qu’on puisse y définir des notions de congruence et de résidu quadratique par analogie avec celles qui existent dans \(\mathbb{Z}\).
Étant donnés deux entiers naturels \(p_1, p_2\) (non tous deux nuls), deux éléments \(a, b \in \mathbb{Z}^2\) sont dits congrus modulo \(p = (p_1, p_2)\) s’il existe \(k = (k_1, k_2) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(a – b = k \times p.\) Autrement dit, on pose \(a ≡ b \mod p\) si et seulement si
\[(a_1,a_2)-(b_1,b_2)=(k_1p_1-k_2p_2,k_1p_2 +k_2 p_1).\]
On dit alors qu’une paire \(q = (q_1, q_2)\) est un résidu quadratique complexe modulo \(p = (p_1, p_2)\) s’il existe \(x=(x_1,x_2) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(q≡x^2 \mod p.\) En d’autres termes, il faut pouvoir trouver des entiers relatifs \(x_1\) et \(x_2\) tels que
\[(q_1,q_2)≡(x_{1}^{2} -x_{2}^{2},2x_1x_2) \mod p.\]
Lien avec les nombres complexes
Les opérations définies par Gauss dans \(\mathbb{Z}^2\) sont intimement liées à la notion de nombre complexe. Un nombre complexe est de la forme \(a_1+ a_2i,\) où \(i = \sqrt{-1}.\) On représente graphiquement un nombre complexe dans un plan, en posant 1 = (1, 0) et i = (0,1), de sorte que \((a_1, a_2) = a_11 + a_2i,\) que l’on peut aussi noter \(a_1+ a_2i\) sans risque de confusion. L’addition et la multiplication usuelles appliquées aux expressions algébriques \(a_1+a_2i\) et \(b_1+ b_2i\) conduisent alors aux expressions suivantes,
\[\begin{array} {r c l} (a_1+a_2i)+(b_1+b_2i)&=&(a_1+b_1)+(a_2 +b_2)i,\\ (a_1+a_2i)\times(b_1+b_2i)&=&a_1b_1+(a_1b_2 +a_2b_1)i+a_2b_2i^2 \\ &=&(a_1b_1-a_2b_2)+(a_1b_2 +a_2b_1)i, \end{array}\]
dans lesquelles on a utilisé le fait que \(i^2 = -1.\)
On note que la multiplication par \(i\) a pour effet une rotation de sens antihoraire d’une angle de \(\pi/2\) rad (90°). En effet,
\[(a_1+a_2i) \times i = a_1i +a_2i^2 = -a_2+a_1i. \]
Si \(a_2 =0,\) le nombre est dit réel et si on a plutôt \(a_1 = 0,\) le nombre est dit imaginaire.
Les opérations définies dans l’ensemble des nombres complexes sont précisément celles qui sont données dans le texte. Pour cette raison, l’ensemble 2 doté des deux opérations est souvent noté \(\mathbb{Z}[i].\)
Mosaïques de Thiele
À l’instar d’un trottoir, une mosaïque de Thiele modulo \(p = (p_1,p_2)\) est constituée de tuiles carrées de côté 1; celles-ci couvrent toutefois une surface plane. La couleur de la tuile centrée au point \(q = (q_1, q_2)\) est fixée comme suit:
- rouge si q ≡ 0 mod p;
- bleu si q ≡ 0 mod p est un résidu quadratique complexe modulo p;
- blanc si q est un non-résidu quadratique complexe modulo p.
À titre d’exemple, supposons p = (2, 0). On a alors
\[(a_1,a_2)≡(b_1,b_2) \mod p\\ \Leftrightarrow a_1-b_1 = 2k_1 \: \text{et} \: a_2-b_2=2k_2,\]
ce qui revient à dire que \(a_1 ≡ b_1 \mod 2\) et \(a_2 ≡b_2 \mod 2.\) Pour tout \((a_1,a_2) \in \mathbb{Z}^2\), on a donc \((a_1, a_2) ≡ (0,0), (0,1), (1,0)\) ou \((1,1) \mod p = (2,0).\)
Par conséquent, il suffit de déterminer si (0,0), (1,0), (0,1) et (1,1) sont des résidus quadratiques complexes modulo \(p = (2, 0)\) ou pas pour pouvoir construire la mosaïque de Thiele correspondante.
Étant donnés \(a_1, a_2 \in \{0,1\},\) on doit donc vérifier s’il existe \(x_1, x_2 \in \mathbb{Z}\) tels que
\[a_1≡x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \mod 2, a_2≡2x_1x_2 \mod 2.\]
Si \(a_2 = 0,\) il suffit de prendre \(x_1 = a_1\) et \(x_2 = 0.\) Toutefois si \(a_2 = 1,\) il n’y a aucune solution possible car \(2x_1x_2\) est pair quels que soient \(x_1, x_2 \in \mathbb{Z}\), de sorte que l’on ne peut jamais avoir \(2x_1x_2 ≡ a_2 = 1 \mod 2.\)
La figure 4 illustre ce résultat. Comme on vient de le voir, les tuiles (0,0), (1,0), (0,1) et (1,1) déterminent le motif fondamental (à gauche), qu’on peut ensuite reproduire à volonté (à droite). L’effet psychédélique de l’ensemble est dû à la double périodicité (horizontale et verticale) du motif et au vif contraste des couleurs.
Deux autres exemples, fournis par Thiele lui-même, ont été reproduits à la figure 1 au moyen d’un programme en libre accès [voir encadré Générer des mosaïques de Thiele avec R ci-dessous]. La mosaïque de gauche de cette figure est obtenue en posant p = (19,0); sa double périodicité (horizontale et verticale, ici encore) est évidente. La mosaïque de droite correspond à p = (17, 8); on y décèle aussi une régularité, mais elle est plus difficile à cerner.
Interprétation géométrique
Pour mieux comprendre en quoi les mosaïques de Thiele sont régulières, traitons les éléments de \(\mathbb{Z}^2\) comme des vecteurs à coordonnées entières et observons que par définition, deux vecteurs \(a = (a_1,a_2), b = (b_1, b_2)\) de \(\mathbb{Z}^2\) sont congrus modulo \(p = (p_1, p_2)\) si et seulement si
\[\begin{array} {r c l}(a_1,a_2)-(b_1,b_2)&=&(k_1p_1 -k_2 p_2 ,k_1p_2 +k_2 p_1) \\&=&k_1(p_1,p_2)+k_2(-p_2,p_1), \end{array}\]
c’est-à-dire si leur différence est la somme d’un multiple de p et d’un multiple du vecteur \(p’ = (-p_2, p_1)\) orthogonal à p.
En termes géométriques, les vecteurs a et b sont donc congrus modulo p s’il est possible de passer de l’extrémité de a à l’extrémité de b (ou vice versa) par un nombre fini de translations de p, –p, p’ et –p’. En particulier tout vecteur est congru à un autre dont l’extrémité se trouve dans les limites du carré de sommets (0, 0), p, p’ et p + p’. Cette propriété est l’équivalent dans \(\mathbb{Z}^2\) du reste de la division par p dans \(\mathbb{Z}.\)
En consultant à nouveau le volet de droite de la figure 1, on constate en effet que le motif fondamental de la mosaïque est bel et bien celui que l’on retrouve entre les quatre repères rouges localisés en (9,25), (17,8), (26, 33) et (34, 16).
Combien de tuiles colorées?
D’expérience, les plus belles mosaïques de Thiele sont celles pour lesquelles \(p = (p_1, p_2)\) est un nombre premier de Gauss, c’est-à-dire tel que la relation suivante est valide pour tous \(a, b \in \mathbb{Z}^2\):
\[a \times b ≡(0,0) \mod p \Rightarrow a ≡ 0 \mod p \: \text {ou} b ≡ 0 \mod p.\]
Il est possible de montrer que p est premier si et seulement si l’une des trois conditions suivantes est satisfaite (résultat pris ici pour acquis):
- si \(p_1 ≥ 1\) et \(p_2 ≥ 1: p_{1}^{2} + p_{2}^{2}\) est premier au sens classique;
- si \(p_1 = 0\) et \(p_2 ≥ 1: |p_2|\) est premier et \(|p_2| ≡ 3 \mod 4;\)
- si \(p_1 ≥ 1\) et \(p_2 = 0: |p_1|\) est premier et \(|p_1| ≡ 3 \mod 4.\)
Ainsi, (19, 0), (71, 0) et (17, 8) sont des nombres premiers de Gauss, mais (5, 0) ne l’est pas puisque (5, 0) = (1, 2) × (1, –2).
On sait que lorsque p est premier, la moitié des nombres entre 1 et \(p – 1\) sont des résidus quadratiques modulo p. Autrement dit, \((p – 1)/2\) des tuiles du motif fondamental d’un trottoir de Thiele modulo p sont bleues. De même, en faisant appel à des notions de théorie des corps, on peut montrer que si \(p = (p_1, p_2)\) est un nombre premier de Gauss tel que \(p_1 ≥ 1\) et \(p_2 ≥ 1,\) alors \(p_{1}^{2} + p_{2}^{2}-1\) des tuiles de la mosaïque de Thiele modulo p sont bleues.
Retour sur image
Le dallage représenté à la figure 2 est la mosaïque de Thiele modulo (71,0), dont le motif fondamental est illustré à la figure 5. Bien qu’il soit actuellement occupé par le Ministère danois de la défense, l’édifice où se trouve ce dallage était à l’origine le siège social de la Société d’assurance Hafnia [voir encadré concernant Thiele]. À titre de président du Conseil d’administration de l’entreprise, Thiele avait autorisé la construction du bâtiment en mai 1910, quelques mois à peine avant son décès à l’âge de… 71 ans. On présume que le choix du recouvrement de sol du hall d’entrée fut choisi après le décès de Thiele afin d’honorer sa mémoire.
On peut encore formuler trois observations à propos de ce dallage:
- L’exécution du motif comporte des erreurs. En effet, bien que la paire (27, 35) soit un résidu quadratique complexe modulo p = (71, 0), la tuile centrée en ce point est blanche sur le dallage. Erreur de calcul ? Tout porte à le croire car elle est répercutée sept fois dans l’ouvrage.
- En comparant les figures 2 et 5,on constate que la tuile centrée en (25, 45) devrait être blanche mais qu’elle est en fait rouge sur le dallage. Cette erreur-là n’est pas répercutée. Distraction du carreleur ou désir de se conformer à une vieille tradition du métier qui consiste à éviter la perfection?
- Pourquoi les tuiles correspondant à certains résidus quadratiques ont-elles été coloriées en rouge et les autres en vert? Simple question d’esthétique? La régularité du motif suggère plutôt que ces deux tons reflètent une autre propriété mathématique de ces résidus. Mais laquelle?
Une recherche documentaire dans les archives de la compagnie Hafnia permettrait peut-être de répondre aux deux premières questions. La troisième est de nature strictement mathématique et sa solution risque de faire intervenir certaines propriétés des entiers de Gauss, des résidus quadratiques (ou quartiques?) complexes et autres passionnants sujets qui relèvent de la théorie des nombres. La réponse nous est inconnue, alors avis aux amateurs!
Générer des mosaïques de Thiele avec R
On peut facilement générer une mosaïque de Thiele à l’aide d’un programme conçu par Søren Buhl, professeur de mathématiques et de statistique à l’Université de Aalborg. Son programme a été écrit à l’aide du logiciel R téléchargeable gratuitement sur le site
Le programme lui-même se trouve ici:
http://www.math.mcgill.ca/cgenest/Thiele.R
Après en avoir copié le code et collé celui-ci dans la fenêtre de commande de R, on peut tracer la mosaïque de Thiele modulo p de taille \((n + 1) \times (n + 1)\) avec la commande tuile(p,n). Par exemple, la figure 1 a été obtenue en tapant2 tuile(19,40) et tuile(17+8i,40). La mosaïque de la figure 5 a été obtenue en tapant tuile(71, 71). Le gratuiciel R est compatible avec les systèmes d’exploitation UNIX, Windows et MacOS.
Pour en s\(\alpha\)voir plus!
Décaillot, A.-M. (2002). Géométrie des tissus, mosaïques, échiquiers: Mathématiques curieuses et utiles. Revue d’histoire des mathématiques, vol. 8, pp. 145-206.
Lauritzen, S., Thiele: Pioneer in Statistics, Oxford University Press, 2002.
